2020年高考数学一轮复习教案：第3章 第3节　三角函数的图象与性质(含解析)

第三节　三角函数的图象与性质[考纲传真]　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R周期性周期为2π周期为2π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性递增区间：，k∈Z，递减区间：，k∈Z递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z递增区间，k∈Z对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心，k∈Z对称中心，k∈Z对称轴x＝kπ＋(k∈Z)对称轴x＝kπ(k∈Z) 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．(2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则①f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋，k∈Z；②f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． (　　)(2)y＝sin |x|是偶函数．  (　　)(3)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． (　　)(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．函数f(x)＝cos的最小正周期为(　　)A.　　　　B.　　　　C．2π　　　　D．2D　[T＝＝2，故选D.]3．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)A.   B.C.   D.D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，∴y＝tan 2x的定义域为.]4．函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)A.B.和C.D.C　[令z＝x＋，函数y＝sin z的单调递增区间为(k∈Z)，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得4kπ－≤x≤4kπ＋，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是，故选C.]5．(教材改编)函数f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________．2　{x|x＝6kπ，k∈Z}　[f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．]三角函数的定义域、值域【例1】　(1)函数y＝的定义域为(　　)A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)(2)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)A.　　　　　 B.C.   D.(3)(2019·长沙模拟)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)A．4　　　　B．5   C．6　　　　D．7(1)B　(2)B　(3)B　[(1)由2sin x－≥0得sin x≥，∴＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)，故选B.(2)因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，所以3sin∈，所以函数f(x)在区间上的值域是，故选B.(3)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.][规律方法]　1三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2三角函数值域的不同求法①利用sin x和cos x的值域直接求.②把所给的三角函数式变换成y＝Asinωx＋φ的形式求值域.③把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.④利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域. (1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)A．2－　　　　　　 B．0C．－1   D．－1－(2)函数y＝的定义域为________．(3)函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域为________．(1)A　(2)　(3)　[(1)因为0≤x≤9，所以－≤－≤，所以sin∈.所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.(2)要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.(3)设t＝sin x＋cos x，则sin xcos x＝(－≤t≤)，y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，当t＝时，y取最大值为＋，当t＝－1时，y取最小值为－1.所以函数值域为.] 三角函数的单调性 【例2】　(1)函数f(x)＝sin的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin的一个单调递减区间为，则ω＝________.(3)(2018·全国卷Ⅱ改编)若函数f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是________．(1)，k∈Z　(2)2　(3)　[(1)f(x)＝sin＝－sin，函数f(x)的单调减区间就是函数y＝sin的增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的减区间为，k∈Z.(2)由≤x≤得ω＋≤ωx＋≤ω＋.又函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，则k∈Z即，解得ω＝2.(3)f(x)＝cos x－sin x＝cos，当x∈[0，a]时，≤x＋≤a＋，由题意知a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值为.][拓展探究]　本例(2)中，若函数f(x)＝sin在上是减函数，试求ω的取值范围．[解]　由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意，知⊆，k∈Z，∴∴4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z，当k＝0时，≤ω≤.[规律方法]　三角函数单调性问题的解题策略1已知三角函数的解析式求单调区间①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φ其中ω＞0的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2已知三角函数的单调性求参数,已知函数y＝Asinωx＋φ的单调性求参数，可先求t＝ωx＋φ的范围a，b，再根据a，b是函数y＝Asin t的单调区间的子集关系列不等式组求解. (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.(1)(k∈Z)　(2)　[(1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)．故函数的单调递增区间为.(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，∴ω＝，此时，＝π＞，符合题意，故ω＝.]三角函数的周期性、奇偶性、对称性 ►考法1　三角函数的周期性【例3】　(2019·大连模拟)在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)A．②④   B．①③④C．①②③   D．①③C　[①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.②由图象知，函数的周期T＝π.③T＝π.④T＝.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C.]►考法2　三角函数的奇偶性【例4】　函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为________．　[由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，∴f(0)＝3sin＝±3，∴φ－＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝.]►考法3　三角函数的对称性【例5】　(1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　)A．y＝2sin   B．y＝2sinC．y＝2sin   D．y＝2sin(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)A.   B.C.   D.(1)B　(2)A　[(1)根据函数的最小正周期为π知，排除C，又当x＝时，2x＋＝π，2x－＝，2x－＝，故选B.(2)由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.][规律方法]　三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路1奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.2周期的计算方法：利用函数y＝Asinωx＋φ，y＝Acosωx＋φω＞0的最小正周期为，函数y＝Atanωx＋φω＞0的最小正周期为求解.3对称性的判断：对于函数y＝Asinωx＋φ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点x0，0是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验fx0的值进行判断. (1)(2019·石家庄模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为(　　)A.   B.C.   D.(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)A．1　　　　B．2   C．4　　　　D．8(1)B　(2)B　[(1)由题意，得ω＝2，所以f(x)＝Asin(2x＋φ)．因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝0时，|φ|取得最小值，故选B.(2)由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2，故选B.]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)A．4π　　　B．2π　　　C．π　　　D.C　[函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)A.   B.C．π   D．2πC　[f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.]3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在单调递减D　[A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．D项，因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．故选D.]4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．1　[f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1.∵x∈，∴cos x∈[0,1]，∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.]