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    2020高考数学一轮复习检测:第8章 第7节 直线与圆锥曲线的综合问题(含解析)

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    2020高考数学一轮复习检测:第8章 第7节 直线与圆锥曲线的综合问题(含解析)

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    限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级 基础夯实练1(2018·广东肇庆质检)直线yx3与双曲线1的交点个数是(  )A1          B2C12  D0解析:A.因为直线yx3与双曲线1的一条渐近线yx平行所以它与双曲线只有1个交点.2(2018·福建厦门模拟)F1F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点F2的直线交椭圆于PQ两点F1PQ60°|PF1||PQ|则椭圆的离心率为(  )A.  BC.  D解析:D.|PF1||PQ|,且F1PQ60°∴△F1PQ为等边三角形周长为4a∴△F1PQ的边长为PF1F2|PF1||PF2||F1F2|2c(2c)2a23c2e2e.3已知双曲线1(a0b0)与直线y2x有交点则双曲线离心率的取值范围为(  )A(1)  B(1]C()  D[)解析:C.因为双曲线的一条渐近线方程为yx则由题意得2所以e.4过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于AB两点它们的横坐标之和等于2则这样的直线(  )A有且只有一条  B.有且只有两条C有且只有三条  D.有且只有四条解析:B.若直线AB的斜率不存在时则横坐标之和为1不符合题意.若直线AB的斜率存在设直线AB的斜率为k则直线AByk代入抛物线y22xk2x2(k22)xk20因为AB两点的横坐标之和为2.所以k±.所以这样的直线有两条.5(2018·安徽皖南八校联考)若直线axby30与圆x2y23没有公共点设点P的坐标为(ab)则过点P的一条直线与椭圆1的公共点的个数为(  )A0  B1C2  D12解析:C.由题意得圆心(00)到直线axby30的距离为所以a2b23.ab不同时为零所以0a2b23.0a2b23可知|a||b|由椭圆的方程知其长半轴长为2短半轴长为所以P(ab)在椭圆内部所以过点P的一条直线与椭圆1的公共点有2故选C.6(2018·江西九江模拟)过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于AB两点交抛物线的准线于C|AF|6λλ的值为(  )A.  BC.  D3解析:D.A(x1y1)(y10)B(x2y2)C(2y3)x126解得x14y14直线AB的方程为y2(x2)x=-2C(28)联立方程解得B(12)所以|BF|123|BC|9所以λ3.7(2018·江西五市八校模拟)已知直线y1x与双曲线ax2by21(a0b0)的渐近线交于AB两点且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-的值为(  )A  BC  D解析:A.由双曲线ax2by21知其渐近线方程为ax2by20A(x1y1)B(x2y2)则有axby0 axby0 a(xx)=-b(yy).a(x1x2)(x1x2)=-b(y1y2)(y1y2)由题意可知x1x2x1x20所以·=-AB的中点为M(x0y0)kOM=-又知kAB=-1所以-×(1)=-所以=-故选A.8已知抛物线Cy22px(p0)的焦点为F过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于AB两点的值等于________解析:A(x1y1)B(x2y2)由直线l的倾斜角为60°则直线l的方程为y0yxp联立抛物线方程消去y并整理12x220px3p20x1px2p3.答案:39已知抛物线Cy22px(p0)直线ly(x1)lC交于AB两点|AB|p________解析:消去y3x2(2p6)x30A(x1y1)B(x2y2)由根与系数的关系x1x2x1x21所以|AB|22所以p2.案:210(2018·浙江金华质检)若双曲线Ey21(a0)的离心率等于直线ykx1与双曲线E的右支交于AB两点.(1)k的取值范围;(2)|AB|6k的值.解:(1)故双曲线E的方程为x2y21.A(x1y1)B(x2y2)(1k2)x22kx20.直线与双曲线的右支交于AB两点1k.(2)x1x2x1x2|AB|·26整理得28k455k2250k2k2.1kk.B级 能力提升练11(2018·河北衡水模拟)过原点的直线l与双曲线=-1有两个交点,则直线l的倾斜角的取值范围是(  )A.  BC.  D解析:B.当直线l的斜率存在时设直线l的方程ykx将其代入双曲线的方程1并整理得(3k21)x290.因为直线l与双曲线有两个交点所以Δ36(3k21)0所以k2解得kk<-.设直线l的倾斜角为α由直线l的斜率ktan α(0απα)可得α当直线l的斜率不存在α直线ly显然与双曲线有两个交点.故选B.12(2018·江西赣州一检)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1F2F1的直线l与双曲线相交于AB两点则满足|AB|3的直线l(  )A1 B2C3 D4解析:C.由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为(0)易得过F1且斜率不存在的直线为x=-该直线与双曲线的交点为()|AB|3又双曲线的两顶点分别为(0)(0)所以实轴长为223结合图象由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有2故共有3条直线满足条件.13已知焦点在x轴上的椭圆方程为1随着a的增大该椭圆的形状(  )A越接近于圆  B.越扁C先接近于圆后越扁  D.先越扁后接近于圆解析:D.由题意知4aa21a0解得2a2e211因此当a(21)e越来越大a(12)e越来越小.所以椭圆形状变化为先扁后圆.14(2018·洛阳市第一次统一考试)已知双曲线E1直线l交双曲线于AB两点若线段AB的中点坐标为l的方程为________解析:依题意设点A(x1y1)B(x2y2)则有两式相减得×.又线段AB的中点坐标是因此x1x22×1y1y2(1)×2=-2=-=-即直线AB的斜率为-直线l的方程为y1=-2x8y70.答案:2x8y7015设点F为椭圆C1(m0)的左焦点直线yx被椭圆C截得弦长为.(1)求椭圆C的方程; (2)Pr2(r0)与椭圆C交于AB两点M为线段AB上任意一点直线FM交椭圆CPQ两点AB为圆P的直径且直线FM的斜率大于1|PF|·|QF|的取值范围.解:(1)x2y222解得m1故椭圆C的方程为1.(2)A(x1y1)B(x2y2)所以0.(x1x2)(y1y2)0kAB1则直线AB的方程为yxyx代入椭圆C的方程并整理得7x28x0x10x2=-故直线FM的斜率k[)FMyk(x1)(34k2)x28k2x4k2120P(x3y3)Q(x4y4)则有x3x4x3x4|PF||x31||QF||x41|所以|PF|·|QF|(1k2)|x3x4(x3x4)1|(1k2)(1k2)×因为k所以|PF|·|QF|的取值范围是.C级 素养加强练16(2018·吉林长春质量检测)已知椭圆C的两个焦点为F1(10)F2(10)且经过点E.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F1的直线l与椭圆C交于AB两点(A位于x轴上方)λ2λ3求直线l的斜率k的取值范围.解:(1)设椭圆C的方程为1(ab0)则由解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)联立方程整理得y2y90Δ1440A(x1y1)B(x2y2)y1y2y1y2λ所以y1=-λy2所以y1y2(y1y2)2λ2因为2λ3所以λ2k0解得0k.故直线l的斜率k的取值范围是17(2018·甘肃兰州诊断考试)已知圆C(x1)2y28D(10)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程; (2)设过点C的直线l1交曲线EQS两点过点D的直线l2交曲线ERT两点l1l2垂足为W(QRST为不同的四个点)W(x0y0)证明:y1求四边形QRST的面积的最小值.解:(1)设动圆半径为r由于点D在圆C所以圆P与圆C内切|PC|2r|PD|r|PC||PD|2|CD|2由椭圆定义可知P的轨迹E是椭圆其中ac1b1故轨迹E的方程为y21.(2)由已知条件可知垂足W在以CD为直径的圆周上则有xy1QRST为不同的四个点所以y1.l1l2的斜率不存在四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在l1的斜率为kl1的方程为yk(x1)由方程组(2k21)x24k2x2k220|QS|2·同理得|RT|2·所以SQRST|QS|·|RT|当且仅当2k21k22k±1时等号成立.综上所述k±1四边形QRST的面积取得最小值.  

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