2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第二章第七节函数与方程

第七节 函数与方程

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的,　联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
突破点一　函数的零点问题


1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[提醒]　函数零点的两个易错点
(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
2．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象



与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无
零点个数
_2_
_1_
_0_

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac<0时没有零点．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3，∴3a－b＝0，即b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
答案：0，－1
2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数为________．
解析：∵f′(x)＝ex＋>0，
∴f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，
∴函数f(x)在定义域内有零点且只有一个．
答案：1
3．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得 答案：


考法一　函数零点所在区间的判断　
[例1]　(2019·河南阶段性测试)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析]　法一：(利用零点存在性定理)因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)上，故选C.

法二：(数形结合)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．
[答案]　C
[方法技巧]　
判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
解方程法
当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上
定理法
利用零点存在性定理进行判断
数形结合法
画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断
考法二　函数零点个数的判断　
[例2]　(1)(2019·南昌模拟)函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(2019·保定模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数为(　　)
A．1 B．3
C．4 D．6
[解析]　(1)法一：(定理法)∵f(0)＝－1，f(1)＝，∴f(0)f(1)<0，故函数f(x)在(0,1)上至少存在一个零点，又∵f(x)为增函数，∴f(x)的零点个数为1.
法二：(图象法)令f(x)＝0，得x＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝x的图象(图略)，可得交点只有一个，∴函数f(x)的零点只有1个，故选B.

(2)函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数即f[f(x)]＝1在(－1，＋∞)上的实数解的个数，令f(x)＝1得x1＝－，x2＝1，x3＝5，作出函数f(x)的大致图象如图所示．由图象可知f(x)＝－无解，f(x)＝1有3个解，f(x)＝5有1个解．综上所述，函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数为4，故选C.
[答案]　(1)B　(2)C
[方法技巧]　　　判断函数零点个数的方法
直接法
即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
定理法
即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
图象法
即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数
性质法
即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数

1.函数f(x)＝ln(2x)－1的零点所在区间是(　　)
A．(2,3) B．(3,4)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：选D　f(x)＝ln(2x)－1是(0，＋∞)上的增函数，并且是连续函数，且f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 4－1>0，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)内．故选D.
2.方程x＝x的解所在的区间是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　令函数f(x)＝x－x，易知函数f(x)为[0，＋∞)上的减函数．又f(0)＝1>0，f＝－>0，f＝－<0，由函数零点的存在性定理可知函数f(x)＝x－x的零点所在的区间是.即方程x＝x的解所在的区间是.故选B.
3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析： 选B　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f·f(2)<0，所以当x>0时函数f(x)有1个零点．根据奇函数的对称性可知，当x<0时，函数f(x)也有1个零点．因此函数f(x)一共有3个零点．故选B.
突破点二　函数零点的应用问题
由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决．此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决．

1．(2019·六安一中模拟)已知函数f(x)＝方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,3)　　　　　　　　　 B．(0,3)
C．(0,2) D．(0,1)


解析：选D　画出函数f(x)的大致图象，如图．由方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，可知函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，由图象易知，实数a的取值范围是(0,1)，故选D.
2．(2019·郑州一模)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
解析：选A　当x≤0时，f(x)单调递增，∴f(x)≤f(0)＝1－a；当x>0时，f(x)单调递增，且f(x)>－a.∵f(x)在R上有两个零点，∴解得0
由函数零点求参数范围的方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解

1．函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3,1)　　　　　　　 B.
C. D．(－∞，－3)或

解析：选B　根据零点存在性定理及二次函数的图象可知，函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点时，解得 2．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A.∪[－2，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C.∪(－2，＋∞)
D.∪(－2，＋∞)
解析：选C　方程f(x)＝a有两个不相等的实数根等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，a∈∪(－2，＋∞)．故选C.
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
[课时跟踪检测]
[A级　保分题——准做快做达标]
1．(2019·重庆一中期中)函数f(x)＝ex＋x－3在区间(0,1)上的零点个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选B　由题知函数f(x)是增函数．根据函数的零点存在性定理及f(0)＝－2，f(1)＝e－2>0，可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点，故选B.
2．函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C　∵x∈[0,4]，∴x2∈[0,16]，当x2＝0，，，，，时f(x)＝0都成立．∴f(x)的零点个数为6.故选C.
3．(2019·江西三校联考)设函数y＝log2x－1与y＝22－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C　令函数f(x)＝log2x－1－22－x，则f(2)＝－1，f(3)＝log23－＝log23－log2()>0，因为f(2)f(3)<0，所以函数f(x)在(2,3)上必有零点．又易知函数f(x)为增函数，所以f(x)在(2,3)上有且只有一个零点，所以x0∈(2,3)，故选C.
4．(2019·福州期末质检)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　根据题意，令x2－2x＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，即当x≤0时函数有两个零点；又当x>0时，1＋＋3x＝0无解．故函数只有两个零点．故选C.
5．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：选B　f(x)＝如图，作出y＝f(x)的图象，其中A(2,1)，则kOA＝.要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，即函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知 6．(2019·辽宁朝阳普通高中模拟)方程4sin πx＝在[－2，4]内根的个数为(　　)
A．6 B．7
C．5 D．8
解析：选D　由原方程得2sin πx＝，在同一坐标系中作出两函数y＝2sin πx和y＝的图象，如图．由图可知，两函数的图象在[－2,4]上共有8个交点，即原方程在[－2，4]内有8个根．故选D.

7．(2019·广东佛山顺德区一模)对于实数a，b定义运算“D”：aDb＝设f(x)＝(2x－3)D (x－3)，且关于x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围为(　　)
A．(0,3) B．(－1,0)
C．(－∞，0) D．(－3,0)
解析：选D　∵aDb＝
∴f(x)＝(2x－3)D (x－3)＝
其图象如图所示．

不妨设x1 故x1x2x3＝－k2，k∈(0,3)，
∴x1x2x3∈(－3,0)．故选D.
8．(2019·沈阳模拟)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为________．
解析：将函数f(x)＝log2(x＋a)的零点x＝1－a，代入x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝0得到(1－a)2－(a＋1)(1－a)－4(a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.
答案：5或－2
9．(2019·凉山州一诊)已知函数f(x)＝则方程f(1＋x2)＝f(2x)的解集是________．
解析：∵函数f(x)＝方程f(1＋x2)＝f(2x)，
∴当x<0时，2＝e2x＋1，解得x＝0，不成立；
当x≥0时，f(1＋x2)＝f(2x)＝2，成立．
∴方程f(1＋x2)＝f(2x)的解集是{x|x≥0}．
故答案为{x|x≥0}．
答案：{x|x≥0}
10．(2019·常德期末)设函数f(x)＝x2，若函数g(x)＝[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3有四个零点，则实数m的取值范围为________．
解析：根据函数f(x)＝x2≥0且g(x)＝[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3，令t＝f(x)，结合函数f(x)＝x2的图象及题意可知方程t2＋mt＋m＋3＝0有两个不等正根，
所以得
即－3 答案：(－3，－2)
11．(2019·遵义月考)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t(t<1)，则原方程化为g(t)＝a有4个不同的实数根，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)内有2个不同的实数根，则原方程有4个不同的实数根等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，如图，画出函数g(t)的图象，结合图象可知，1≤a<，即a的取值范围是.
12．(2019·沈阳四校联考)已知函数f(x)＝2x－(a∈R)，将y＝f(x)的图象向右平移两个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数y＝g(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a在x∈[0,1]上有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，得g(x)＝2x－2－.
(2)设2x＝t，x∈[0,1]，则t∈[1,2]，原方程可化为t2－at－a＝0，
t2－at－a＝0在t∈[1,2]上有且仅有一个实数根．
法一：设k(t)＝t2－at－a，图象的对称轴方程为t＝，因为k(1)＝1－2a，k(2)＝4－3a，所以k(1)与k(2)不同时为0，所以k(1)·k(2)≤0，①
或②
由①得(1－2a)(4－3a)≤0，即(2a－1)(3a－4)≤0，得≤a≤.
由②得无解，故实数a的取值范围是.
法二：由t2－at－a＝0，t∈[1,2]，得＝2＋，t∈[1,2]．
设u＝，则u∈，＝u2＋u.
记h(u)＝u2＋u，则h(u)＝u2＋u在上单调递增，
故h≤≤h(1)，即≤≤2，
所以≤a≤，
故实数a的取值范围是.
[B级　难度题——适情自主选做]
1．(2019·西安高三一检)设x0为函数f(x)＝sin πx的零点，且满足|x0|＋f<33，则这样的零点有(　　)
A．61个 B．63个
C．65个 D．67个
解析：选C　依题意得sin πx0＝0，所以πx0＝kπ(k∈Z)，即x0＝k，f＝sin＝sin＝cos πx0＝cos kπ，所以|x0|＋f<33，即|k|<33－cos kπ，当k为偶数时，|k|<32，则零点有31个；当k为奇数时，|k|<34，则零点有34个．所以共有31＋34＝65个零点，故选C.
2．(2019·绵阳模拟)函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当－1≤x≤1时，f(x)＝|x|.若函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为(　　)
A．(4,5) B．(4,6)
C．{5} D．{6}
解析：选C　因为f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为2.
当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|.
在同一直角坐标系下作出函数f(x)与g(x)＝logax的图象，如图所示．

若函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象有且仅有4个交点，则a>1且函数g(x)＝logax的图象过点(5,1)，即a＝5.故选C.
3．(2019·信阳模拟)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
解：(1)证明：∵函数f(x)＝log2(2x＋1)，任取x1 ∵x1 ∴log2<0，
∴f(x1) ∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)∵g(x)＝m＋f(x)，
∴m＝g(x)－f(x)
＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2
＝log2，
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，
∴log2≤log2≤log2，
故m的取值范围为.