2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第九章第七节　直线与圆锥曲线

第七节　直线与圆锥曲线

1.了解圆锥曲线的简单应用．
2.理解数形结合的思想．

突破点一　直线与圆锥曲线的位置关系


判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.


(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，
则
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
二、填空题
1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
答案：[－1,1]
2．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，弦AB的长为________．
答案：
3．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案：

[典例]　(1)(2019·河南九校联考)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3,0)
D．(－2,0)


(2)若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)
A．1条　　　　　　　　 　B．2条
C．3条 D．4条
[解析]　(1)因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.选A.
(2)结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条，分别为直线x＝0，直线y＝1以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.
[答案]　(1)A　(2)C
[方法技巧]
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
[提醒]　联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．　　
[针对训练]
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析：选B　∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝ ＞2，∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．
2．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)
A．k＞－ B．k＜
C．k＞或k＜－ D．－＜k＜
解析：选D　由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜.

突破点二　圆锥曲线中弦长及中点弦问题


圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·＝ ·|y1－y2|
＝ ·.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B (x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ |y1－y2|.(　　)
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)
答案：(1)√　(2)√
二、填空题
1．顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，则抛物线方程为________．
答案：y2＝12x或y2＝－4x
2．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
答案：
3．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
答案：，


考法一　弦长问题　
[例1]　(2019·孝义模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解]　(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)，由题意可得
解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，
由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，
所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，
由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d＝＜1，
得|m|＜.
|AB|＝2＝2 ＝×，
联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)＞0，解得m2＜7，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|CD|＝|x1－x2|＝×
＝× ＝×＝|AB|
＝××，
解得m＝±.
即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.
[方法技巧]
求解弦长的4种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2或(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．
(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
[提醒]　利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．　　
考法二　中点弦问题　
考向一　由中点弦确定直线方程
[例2]　在椭圆＋＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为__________________．
[解析]　设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程得
两式相减得＋＝0，
所以＝－，
即－＝，
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
所以＝－，
故该直线方程为y－2＝－(x－1)，
即9x＋32y－73＝0.
[答案]　9x＋32y－73＝0
考向二　由中点弦确定曲线方程
[例3]　过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________________．
[解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－.
又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x－4x1－4p2＝0；
同理有x－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.
由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，
即＝＝12，＝12，
解得p＝1或p＝2.
故抛物线的方程为x2＝2y或x2＝4y.
[答案]　x2＝2y或x2＝4y
考向三　由中点弦解决对称问题
[例4]　已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为__________．
[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得，
(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.
∴·＝3，即kMN·＝3，
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.
又∵y0＝x0＋m，
∴P，
代入抛物线方程，得m2＝18·，
解得m＝0或－8，经检验都符合题意．
[答案]　0或－8


[方法技巧]
处理中点弦问题常用的2种方法
(1)点差法
设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系
联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
[提醒]　中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．　　

1.已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在直线的方程为____________．
解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝，
又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1， ①
＋＝1， ②
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，
∴k＝＝－.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
2.焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为__________．
解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为，
且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得
两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3.抛物线x2＝4y与直线x－2y＋2＝0交于A，B两点，且A，B关于直线y＝－2x＋m对称，则m的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立消去y，得x2－2x－4＝0.
则x1＋x2＝2，＝1.
∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝3，＝.
∵A，B关于直线y＝－2x＋m对称，
∴AB的中点在直线y＝－2x＋m上，
即＝－2×1＋m，解得m＝.
答案：
4.经过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为.
(1)求椭圆M的方程；
(2)C，D为椭圆M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积的最大值．
解：(1)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知右焦点为(，0)．
联立
得(a2＋b2)y2－2b2y＋b2(3－a2)＝0，①
则y1＋y2＝，x1＋x2＝2－(y1＋y2)，
即kOP＝＝＝＝＝⇒a2＝2b2.
因为a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)由(1)知方程①为3y2－2y－3＝0.
由弦长公式得：|AB|＝·|y1－y2|＝
＝ ＝.
令CD的方程为：x＝y＋m.
由得3y2＋2my＋m2－6＝0，
则y1＋y2＝－，y1·y2＝.
由弦长公式得|CD|＝·＝·≤4.
所以S四边形ACBD＝|AB|·|CD|≤(当且仅当m＝0时取最大值)．
故四边形ACBD的面积的最大值为.


[课时跟踪检测]
1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)
A．有且只有一条　　　　　 　B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
解析：选B　设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　)
A. B.
C．5 D.
解析：选D　过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝.

3．(2018·聊城二模)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5
C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3
解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.
4．(2019·厦门模拟)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是(　　)
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点分别在左、右两支上
解析：选D　直线l的方程为y＝，代入C：－＝1，整理得23x2－8x－160＝0，Δ＝(－8)2＋4×23×160＞0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．
5．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|＝(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
解析：选C　由题意可设lAB为y＝x＋b，代入y＝－x2＋3得x2＋x＋b－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝b－3，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝－1＋2b.所以AB中点坐标为，该点在x＋y＝0上，即－＋＝0，得b＝1，所以|AB|＝·＝3.
6．(2019·青岛模拟)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选D　设过点A与抛物线相切的直线方程为y＝kx－.
由得x2－2pkx＋p2＝0，
由Δ＝4k2p2－4p2＝0，可得k＝±1，
则Q，P，
∴△APQ的面积为×2p×p＝4，∴p＝2.故选D.
7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由
两式相减得：＝，
则＝＝.由直线AB的斜率k＝＝1，∴＝1，则＝，∴双曲线的离心率e＝＝＝.
8．(2019·福州模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N，若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选C　F，直线AB的方程为y＝x－.
联立得方程组可得x2－3px＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
则y1＋y2＝x1＋x2－p＝2p，
∴M，∴N(0，p)，直线MC的方程为y＝－x＋.
∴C，∴四边形CMNF的面积为S梯形OCMN－S△ONF＝－··p＝＝7，
又p＞0，∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.故选C.
9．(2018·湖北十堰二模)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的两个分支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)
A．4 B.
C. D.
解析：选B　∵△ABF2为等边三角形，
∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°.
由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|BF1|＝2a.
又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a.
∴|AF2|＝4a，|AF1|＝6a.
在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cos 60°，
∴(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×4a×6a×，即c2＝7a2，
∴e＝＝＝.故选B.
10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．3
解析：选A　∵l与圆相切，
∴原点到直线的距离d＝＝1，
∴m2＝1＋k2，由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，
∴
∴k2＜1，∴－1＜k＜1，由于x1＋x2＝，
∴x2－x1＝＝＝，
∵0≤k2＜1，
∴当k2＝0时，x2－x1取最小值2.故选A.
11．(2019·安庆模拟)设抛物线x2＝4y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足＝λ，若||＝，则λ的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线x2＝4y得焦点F的坐标为(0,1)，
准线方程为y＝－1，
∵||＝，∴y1＋1＝，解得y1＝，
∴x1＝±，由抛物线的对称性取x1＝，
∴A，∴直线AF的方程为y＝－x＋1，
由解得或
∴B(－2，2)，∴||＝2＋1＝3，
∵＝λ，∴||＝λ||，∴＝3λ，解得λ＝.
答案：
12．(2019·武汉调研)已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O且与直线MN平行，直线PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
解析：法一：由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my＋1，则直线PQ的方程为x＝my.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).
⇒(m2＋2)y2＋2my－1＝0⇒y1＋y2＝－，y1y2＝－.
∴|MN|＝|y1－y2|＝2·.
⇒(m2＋2)y2－2＝0⇒y3＋y4＝0，y3y4＝－.
∴|PQ|＝|y3－y4|＝2 .
故＝2.
法二：取特殊位置，当直线MN垂直于x轴时，
易得|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2.
答案：2
13．(2019·石家庄重中高中摸底)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，直线l：y＝(x－1)，l与C交于A，B两点，若|AB|＝，则p＝________.
解析：由消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝2＝ 2 ＝，所以p＝2.
答案：2
14．(2018·深圳二模)设过抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2＝8px(p＞0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px(p＞0)的另一个交点为Q，则＝________.
解析：设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
联立得解得P，
联立得解得Q，
∴|OP|＝ ＝，
|PQ|＝ ＝，
∴＝＝3.
答案：3
15．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，求直线l的方程．
解：(1)抛物线E：y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，
由抛物线的定义可知3－ ＝4，
解得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减，整理得 ＝(x1≠x2)．
∵线段AB中点的纵坐标为－1，
∴直线l的斜率kAB＝＝＝－2，
∴直线l的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
法二：由(1)得抛物线E的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，
设直线l的方程为x＝my＋1，
由消去x，得y2－4my－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵线段AB中点的纵坐标为－1，
∴＝＝－1，解得m＝－，
∴直线l的方程为x＝－y＋1，即2x＋y－2＝0.
16．(2019·佛山模拟)已知直线l过点P(2,0)且与抛物线E：y2＝4x相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在第四象限，O为坐标原点．
(1)当A是PC中点时，求直线l的方程；
(2)以AB为直径的圆交直线OB于点D，求|OB|·|OD|的值．
解：(1)∵A是PC的中点，P(2,0)，C在y轴上，
∴A点的横坐标为1，又A在第四象限，∴A(1，－2)．
∴直线l的方程为y＝2x－4.
(2)显然直线l的斜率不为0，
设l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得方程组消去x得y2－4my－8＝0，
∴y1y2＝－8，故x1x2＝·＝4，
∵D在以AB为直径的圆上，且在直线OB上，∴⊥，
设＝λ＝(λx2，λy2)，
则＝－＝(λx2－x1，λy2－y1)，
∴·＝(λx2－x1)λx2＋(λy2－y1)λy2＝0，
即λ2x－4λ＋λ2y＋8λ＝0，易知λ≠0，
∴λ(x＋y)＝－4.
∴|OB|·|OD|＝·＝|λ|(x＋y)＝4.
17．(2019·广州调研)如图，在直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上焦点为F1，椭圆C的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆C交于点B(B不在y轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若·＝0，且|MO|＝|MA|，求直线l的方程．
解：(1)因为椭圆C的离心率为，
所以＝，即a＝2c.
又a2＝b2＋c2，所以b2＝3c2，即b2＝a2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
把点代入椭圆C的方程中，解得a2＝4.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，A(0,2)，设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝kx＋2，
由得(3k2＋4)x2＋12kx＝0.
设B(xB，yB)，得xB＝，
所以yB＝，
所以B.
设M(xM，yM)，因为|MO|＝|MA|，所以点M在线段OA的垂直平分线上，
所以yM＝1，因为yM＝kxM＋2，所以xM＝－，
即M.
设H(xH,0)，又直线HM垂直于直线l，
所以kMH＝－，即＝－.
所以xH＝k－，即H.
又F1(0,1)，所以＝，＝.
因为·＝0，所以·－＝0，
解得k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋2.