2020高考数学（理）新创新大一轮复习通用版讲义：第二章第二节　第2课时　系统题型——函数的性质及其应用

第2课时　系统题型——函数的性质及其应用
一、学前明考情——考什么、怎么考

1.(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞， ＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50　　　　　　　　　 B．0
C．2 D．50
解析：选C　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
2.(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：选D　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
3.(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1

常规角度
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间；利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；
2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等；
3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求函数值等．
主要以选择、填空题为主，难度中档或中偏高档
创新角度
函数的性质常与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题

二、课堂研题型——怎么办、提知能

函数单调性的判断及应用
函数的单调性是高考的一个重要考点．常在选择、填空题中考查，有时也与导数结合出现在解答题第一问中，难度中等．
常见的考法有：(1)判断函数的单调性、求单调区间．(2)利用函数的单调性比较大小．(3)解函数不等式．(4)求参数的取值范围．
考法一　确定函数的单调性及求单调区间　
[例1]　(2019·新乡一中月考)函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1)　　　　　　　 B.
C．(2，＋∞) D.
[解析]　函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．令t＝x2－3x＋2，则y＝logt.∵t＝x2－3x＋2在(－∞，1)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，y＝logt为减函数，∴根据“同增异减”可知，函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间是(－∞，1)．故选A.
[答案]　A
[例2]　(2019·广东佛山联考)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的单调性．
[解]　法一(定义法)：
设－10，x∈(－1,1)，∴f′(x)