2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：高考大题增分课（二）　三角函数与解三角形中的高考热点问题

二　三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用及变形公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用． 三角函数的图像与性质 要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．【例1】　(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及递增区间．[解]　(1)由sin＝，cos＝－，得f ＝－－2××，所以f ＝2.(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的递增区间是(k∈Z)．[规律方法]　求函数的单调区间，应先通过三角恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把“ωx＋φ”视为一个整体，结合函数y＝sin x的单调性找到“ωx＋φ”对应的条件，通过解不等式可得单调区间． (2019·北京海淀模拟)已知函数f(x)＝sin 2xcos－cos 2xsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f(x)在上的最大值．[解]　(1)f(x)＝sin 2xcos－cos 2xsin＝sin2x－，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，因为y＝sin x的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.(2)因为x∈，所以2x∈[0，π]，所以2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，f(x)在上的最大值为1. 解三角形 从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值．【例2】　(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．[信息提取]　看到条件△ABC的面积，想到三角形面积公式；看到(2)中6cos Bcos C＝1和(1)的结论，想到两角和的余弦公式，可求角A，进而利用面积公式和余弦定理求b＋c.[规范解答]　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝. 2分由正弦定理得sin Csin B＝.故sin Bsin C＝. 5分(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝. 7分由题设得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8. 9分由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝. 11分故△ABC的周长为3＋. 12分[易错与防范]　易错误区：(1)三角形面积公式选用不当，导致无法求解第(1)问．(2)根据6cos Bcos C＝1和sin Bsin C＝，联想不到使用公式cos(B＋C)＝cos Bcos C－sin Bsin C．导致无法求解第(2)问．防范措施：(1)在选用面积公式时，应保证消去sin A，故应选择公式S△ABC＝absin C或S△ABC＝acsin B．](2)对于两角和与差的正弦、余弦和正切公式应加强逆用的应用意识，根据公式的结构特征恰当选择公式．[通性通法]　解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到． (2019·莆田模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctan C＝(acos B＋bcos A)．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．[解]　(1)∵ctan C＝(acos B＋bcos A)，∴sin Ctan C＝(sin Acos B＋sin Bcos A)，∴sin Ctan C＝sin(A＋B)＝sin C，∵0＜C＜π，∴sin C≠0，∴tan C＝，∴C＝60°.(2)∵c＝2，C＝60°，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，∴ab≤12，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．∴S△ABC＝absin C≤3.∴△ABC面积的最大值为3. 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．【例3】　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sin Csin B(1)求A；(2)若a＝3，求b＋2c的最大值．[解]　(1)cos(C＋B)cos(C－B)＝cos2A－sin Csin B＝cos2(C＋B)－sin Csin B，则cos(C＋B)[cos(C－B)－cos(C＋B)]＝－sin Csin B，则－cos A·2sin Csin B＝－sin Csin B，可得cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝60°.(2)由＝＝＝2，得b＋2c＝2(sin B＋2sin C)＝2[sin B＋2sin(120°－B)]＝2(2sin B＋cos B)＝2sin(B＋φ)，其中tan φ＝，φ∈.由B∈，得B＋φ∈，∴sin(B＋φ)的最大值为1，∴b＋2c的最大值为2.[规律方法]　1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化． (2019·石家庄模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且＝tan A＋tan B．(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.[解]　(1)在△ABC中，＝tan A＋tan B，∴＝＋，即＝，∴＝，则tan A＝，又0＜A＜π，∴A＝.(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，得cos∠BDC＝＝－，又0＜∠BDC＜π，∴∠BDC＝.又A＝，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5.[大题增分专训]1．(2019·泰安模拟)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的递增区间；(2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g的值．[解]　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝2sin2x－(1－2sin xcos x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x＋－1＝2sin＋－1，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的递增区间是(k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图像，再把得到的图像向左平移个单位，得到y＝2sin x＋－1的图像，即g(x)＝2sin x＋－1，所以g＝2sin ＋－1＝.2．(2019·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin(A＋C)．(1)求角B；(2)若b＝6，sin C＝，求△ABC的面积S.[解]　(1)因为A＋C＝π－B，所以由已知得a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin(π－B)，即a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin B．根据正弦定理可得a(a＋c)＋c2＝b2，即a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理得cos B＝＝－，因为0＜B＜π，所以B＝.(2)因为B＝，所以C为锐角，故cos C＝＝＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin×＋cos×＝×＋×＝.由正弦定理，得a＝＝＝.所以△ABC的面积S＝absin C＝××6×＝.3．(2019·石家庄模拟)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝ km.(1)求道路BE的长度；(2)求生活区△ABE面积的最大值．[解]　(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝，∴BD＝ km.∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝＝，又∠CDE＝，∴∠BDE＝.∴在Rt△BDE中，BE＝＝＝(km)．故道路BE的长度为km.(2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝，∴∠AEB＝－α.在△ABE中，易得＝＝＝＝，∴AB＝sin，AE＝sin α.∴S△ABE＝AB·AEsin＝＝，∵0＜α＜，∴－＜2α－＜.∴当2α－＝，即α＝时，S△ABE取得最大值，最大值为S△ABE＝＝km2，故生活区△ABE面积的最大值为km2.