2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：高考大题增分课2三角函数与解三角形中的高考热点问题

[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第17题交替考查解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题．

解三角形

以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用．

【例1】　(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

[解]　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.

在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，

即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)，c＝4.

(2)由题设可得∠CAD＝，

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.

故△ABD面积与△ACD面积的比值为

＝1.

又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，

所以△ABD的面积为.

(2018·郑州二模)△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，c＝3.

(1)求A；

(2)若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．

[解]　(1)2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，

由正弦定理得bsin B－asin A＝bsin C－csin C，

则b2－a2＝bc－c2.

所以cos A＝＝，所以A＝60°.

(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，

在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝，

由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 120°，

即19＝9＋AC2－2×3×AC×，解得AC＝2(舍负)．

故S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝.

三角恒等变换与解三角形

以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．

【例2】　(2017·全国卷Ⅱ) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.

(1)求cos B；

(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求B．

[解]　(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，

故sin B＝4(1－cos B)．

上式两边平方，整理得

17cos2B－32cos B＋15＝0，

解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.

(2)由cos B＝得sin B＝，

故S△ABC＝acsin B＝ac.

又S△ABC＝2，则ac＝.

由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.

所以b＝2.

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a＋c)2＝b2＋3ac.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝2，且sin B＋sin(C－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．

[解]　(1)由(a＋c)2＝b2＋3ac，整理得a2＋c2－b2＝ac，

由余弦定理得cos B＝＝＝，

∵0＜B＜π，∴B＝.

(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，即B＝π－(A＋C)，

故sin B＝sin(A＋C)，

由已知sin B＋sin(C－A)＝2sin 2A可得sin(A＋C)＋sin(C－A)＝2sin 2A，

∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Ccos A－cos Csin A＝4sin Acos A，

整理得cos Asin C＝2sin Acos A.

若cos A＝0，则A＝，由b＝2，可得c＝＝，

此时△ABC的面积S＝bc＝.

若cos A≠0，则sin C＝2sin A，由正弦定理可知，c＝2a，

代入a2＋c2－b2＝ac，整理可得3a2＝4，解得a＝，

∴c＝，

此时△ABC的面积S＝acsin B＝.

综上所述，△ABC的面积为.

平面图形中的几何度量问题

以四边形为载体，通过分割或补形构造新的三角形，其实质还是考查三角形中正、余弦定理的应用．

【例3】　(本题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求①；

(2)若②.

[信息提取]　看到①想到△ADB；想到△ADB中已知哪些量；想到如何应用正、余弦定理解三角形．

看到②想到△DBC；想到用余弦定理求BC.

[解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.

由题设知，＝，··································2分

所以sin∠ADB＝.···········································3分

由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.··········6分

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.·····················8分

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC

＝25＋8－2×5×2×

＝25. ·······················································11分

所以BC＝5.·················································12分

[易错与防范]

[通性通法]　求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边或角；二是注意大边对大角在解三角形中的应用．

如图，在△ABC中，点D是边AC上一点，且AD＝2CD．

(1)若∠ABC＝90°，AB＝AD＝2，求BD的长；

(2)求证：＝.

[解]　(1)由题意，AC＝3，

于是cos A＝＝.

在△ABD中，根据余弦定理可知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝，

所以BD＝.

(2)证明：在△ABD和△CBD中分别使用正弦定理可得方程组

由∠ADB＋∠CDB＝π得sin∠ADB＝sin∠CDB．

于是，结合AD＝2CD，将上面的两个方程相比可得，

＝.

三角形中的最值(范围)问题

解三角形与其他知识相交汇问题，常与不等式、平面向量等知识相交汇，此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题，分值约为6分．

【例4】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B．

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值.

[解]　(1)由已知及正弦定理得

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin  B．①

又A＝π－(B＋C)，

故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②

由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B．

又B∈(0，π)，所以B＝.

(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.

由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .

又a2＋c2≥2ac，

故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．

因此△ABC面积的最大值为＋1.

[规律方法]　该类求解面积(周长)问题是建立面积(周长)的函数关系式或者使用基本不等式得出三角形两边之积的最大值，再根据三角形面积公式(或周长公式)求得最值．

(2019·长春质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝acos C＋.

(1)求角A；

(2)若·＝3，求a的最小值．

[解]　(1)由题意得，b－acos C＝，

∴由正弦定理知，sin B－sin Acos C＝sin C.

∵A＋B＋C＝π，

∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，

∴sin Acos C＋cos Asin C－sin Acos C＝sin C，

∴cos Asin C＝sin C，

∴cos A＝，

∴A＝.

(2)由(1)及·＝3得bc＝6，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－6≥2bc－6＝6，

当且仅当b＝c时取等号，所以a的最小值为.

[大题增分专训]

1．(2018·济南一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos A－acos B＝2c.

(1)证明：tan B＝－3tan A；

(2)若b2＋c2＝a2＋bc，且△ABC的面积为，求a.

[解]　(1)证明：根据正弦定理，得sin Bcos A－cos Bsin A＝2sin C＝2sin(A＋B)，

即sin Bcos A－cos Bsin A＝2(sin Bcos A＋cos Bsin A)，

整理得sin Bcos A＝－3cos Bsin A，∴tan B＝－3tan A.

(2)由已知得，b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝，

由0＜A＜π，得A＝，tan A＝，∴tan B＝－.

由0＜B＜π，得B＝，∴C＝，a＝c，

由S△ABC＝acsin ＝×a2＝，得a＝2.

2．(2018·合肥一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cos C＋ccos A＝0.

(1)求角C；

(2)若c＝2，求△ABC周长的最大值．

[解]　(1)根据正弦定理，由已知得(sin A－2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0，

即sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos C，

sin(A＋C)＝2sin Bcos C，

∵A＋C＝π－B，∴sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B＞0，

∴sin B＝2sin Bcos C，∴cos C＝.

∵C∈(0，π)，∴C＝.

(2)由(1)及余弦定理得cos C＝＝，

又c＝2，∴a2＋b2－12＝a B．

∴(a＋b)2－12＝3ab≤32，

即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝2时等号成立)．

∴△ABC周长的最大值为6.

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，S△ABC＝6，求b，c的值．

[解]　(1)∵＝，

由正弦定理可得：

＝，

∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A，

∴sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A.

即sin C＝2sin Ccos A.

又sin C≠0，∴cos A＝.

又A∈(0，π)，

∴A＝.

(2)∵S△ABC＝bcsin A＝bc·＝6，

∴bc＝24，①

又cos A＝

＝

＝

＝，

整理得：(b＋c)2＝100，

又b＋c＞0，

∴b＋c＝10.②

联立①②解得：或