2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第九章平面解析几何第55讲

第55讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求　1.直线与圆、圆与圆的位置关系及判断(B级要求)；2.利用直线和圆的方程解决一些简单的问题(B级要求)；3.用代数方法处理几何问题的思想(A级要求).

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　　)
(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
解析　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件.
(2)除外切外，还有可能内切.
(3)两圆还可能内切或内含.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.(必修2P113例1改编)已知圆O：x2＋y2＝4，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为________.
解析　因为点P(2，4)不在圆O上，所以切线PT的方程可设为y＝k(x－2)＋4.根据d＝r知＝2，解得k＝，所以y＝(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求得另一条切线方程为x＝2.
答案　3x－4y＋10＝0或x＝2
3.(必修2P114习题2改编)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________.
解析　由条件易知直线l的斜率必存在，设为k，由题可知圆心(1，1)到直线y＋2＝k(x＋1)的距离为＝，解得k＝1或k＝，即所求直线l的斜率为1或.
答案　1或
4.(2016·全国Ⅱ卷改编)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝________.
解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
答案　－
5.(2018·盐城模拟)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________.
解析　由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案　[－3，1]
知 识 梳 理
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
dr⇔相离.
(2)代数法：
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
　　方法
位置关系 　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|