2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第九章平面解析几何第60讲

第60讲　曲线与方程
考试要求　1.曲线方程(B级要求)；2.高考中可能重点考查求轨迹方程，求两曲线的交点，直线与圆锥曲线的位置关系.

诊 断 自 测
1.(教材改编)已知点F ，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是________.
解析　由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.
答案　抛物线
2.(2018·苏州模拟)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是________.
解析　原方程可化为或－1＝0，
即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
答案　一条直线和一条射线
3.(2018·南通模拟)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________.
解析　由角的平分线性质定理得PA＝2PB，
设P(x，y)，则＝2，
整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0).
答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
4.过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________.
解析　设MN的中点为P(x，y)，
则点M(x，2y)在椭圆上，
∴＋＝1，
即＋＝1(a>b>0).
答案　＋＝1(a>b>0)
5.(2018·镇江模拟)若点P在椭圆＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且满足1·2＝t，则实数t的取值范围是________.
解析　设P(x，y)，F1(－2，0)，F2(2，0)，
1＝(－2－x，－y)，2＝(2－x，－y)，
1·2＝(－2－x)(2－x)＋(－y)2＝x2＋y2－8.
∵P在椭圆＋y2＝1上，∴y2＝1－，
∴t＝1·2＝x2＋y2－8＝x2－7，
∵0≤x2≤9，∴－7≤t≤1，
故实数t的取值范围是[－7，1].
答案　[－7，1]
知 识 梳 理
1.曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2.求曲线方程的基本步骤


考点一　定义法求轨迹方程
【例1】 如图，动圆C1：x2＋y2＝t2(10).
考点三　相关点法求轨迹方程
【例3】 (2018·盐城模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.

(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).
解　(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，
所以点A的坐标为，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
所以y0＝－×(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2.
由N为线段AB的中点，知
x＝，③
y＝.④
所以切线MA，MB的方程分别为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，
AB的中点N为点O，坐标满足x2＝y.
因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.
规律方法　“相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1).
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程便可得到所求动点的轨迹方程.
【训练3】 设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程.
解　设△ABC的重心为G(x，y)，

点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由方程组
消去y并整理得
x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
∵G(x，y)为△ABC的重心，
∴
∴
又点C(x0，y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得
(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，
即＝(x－4a).
又点C与A，B不重合，
∴x0≠(6±2)a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为
＝(x－4a).

一、必做题
1.(2018·无锡质检)设定点M1(0，－3)，M2(0，3)，动点P满足条件PM1＋PM2＝a＋(其中a是正常数)，则点P的轨迹是________.
解析　∵a是正常数，∴a＋≥2＝6.
当PM1＋PM2＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；
当a＋>6时，点P的轨迹是椭圆.
答案　椭圆或线段
2.(2018·南京模拟)已知点M与双曲线－＝1的左、右焦点F1，F2的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程为________.
解析　F1(－5，0)，F2(5，0)，设M(x，y)，则＝，化简得x2＋y2＋26x＋25＝0.
答案　x2＋y2＋26x＋25＝0
3.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝MQ，则Q点的轨迹方程是________.
解析　由题意知M为PQ中点，
设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，
代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
答案　2x－y＋5＝0
4.已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为________.
解析　∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，
∴e＝2或e＝.
mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，
当它表示焦点在x轴上的椭圆时，
有＝且4>m，∴m＝3；
当它表示焦点在y轴上的椭圆时，
有＝且m>4，∴m＝；
当它表示焦点在x轴上的双曲线时，
可化为－＝1，
有＝2，∴m＝－12.
∴满足条件的圆锥曲线有3个.
答案　3
5.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为__________.
解析　设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知点A是线段RP的中点，
∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案　y＝2x
6.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是________.
解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3，1)，
＝(－1，3)，
∵＝λ1＋λ2，∴
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线.
答案　直线
7.(2018·南通月考)已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为________.
解析　由sin B＋sin A＝sin C可知b＋a＝c＝10，
则AC＋BC＝10>8＝AB，∴满足椭圆定义.
令椭圆方程为＋＝1，
则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为
＋＝1(x≠±5).
答案　＋＝1(x≠±5)
8.如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝1＋2，则动点Q的轨迹方程是________.

解析　由于＝1＋2，
又1＋2＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
答案　＋＝1
9.(2018·广州模拟)已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程；

(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.
解　(1)连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4.

(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，
故取x＝1，此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2).
10.(2017·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.
解　(1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，
解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0).
设P(x0，y0)，因为点P为第一象限的点，故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符.
当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，
所以直线l1的斜率为－，
直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程：y＝－(x＋1)，①
直线l2的方程：y＝－(x－1).②
由①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q.
因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又P在椭圆E上，故＋＝1.
由解得
无解.
因此点P的坐标为.
二、选做题
11.曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________.
解析　因为原点O到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离的积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以PF1·PF2＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝PF1·PF2·
sin∠F1PF2≤PF1·PF2＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确.
答案　②③
12.(2018·南京模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示.

(1)求点C的轨迹M的方程；
(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.
(1)解　依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，
由⇒x2－2pkx－p2＝0⇒x1·x2＝－p2.
易知直线OA：y＝x＝x，直线BC：x＝x2，
由得y＝＝－，
即点C的轨迹M的方程为y＝－.
(2)证明　由题意知直线n的斜率存在.
设直线n的方程为y＝k1x＋m，
由⇒x2－2pk1x－2pm＝0⇒Δ＝4p2k＋8pm.
∵直线n与抛物线相切，
∴Δ＝0⇒pk＋2m＝0，可得P(pk1，－m).
又由⇒Q，
∵F，·＝·
＝－－mp＋pm＋＝0，
∴FP⊥FQ，∴以PQ为直径的圆过点F.