2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第九章平面解析几何第54讲

第54讲　圆的方程
考试要求　1.确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程(C级要求)；2.高考中可能重点关注圆的方程的求法，以及直线与圆、圆与圆的位置关系.

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时才表示圆.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.圆心是(－2，3)，且经过原点的圆的标准方程为________.
解析　易得r＝.
答案　(x＋2)2＋(y－3)2＝13
3.(2018·镇江一模)圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的标准方程为________.
解析　由题意得圆心在直线y＋2＝x－3上，而圆心又在直线y＝－4x上，所以解方程组得圆心坐标为(1，－4)，半径为＝2，从而标准方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
答案　(x－1)2＋(y＋4)2＝8
4.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
解析　由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
答案　(－2，－4)　5
5.已知点P(1，1)在圆C：x2＋y2－ax＋2ay－4＝0的内部，则实数a的取值范围是________.
解析　因为点P在圆内，所以1＋1－a＋2a－40
圆心坐标：
半径r＝
2.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.
3.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)20)，由圆过点A(3，－2)，B(2，1)，得由x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，y1＋y2＝－E.由y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，x1＋x2＝－D.由题意知x1＋x2＋y1＋y2＝－D－E＝2，解得D＝－，E＝，F＝.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋＝0.
法二　设圆心为(a，b)，圆与x轴分别交于(x1，0)，(x2，0)，与y轴分别交于(0，y1)，(0，y2)，则根据题意知x1＋x2＋y1＋y2＝2，所以＋＝1，a＝，b＝，
所以a＋b＝1.又因为点(a，b)在线段AB的中垂线上，
所以a－3b－4＝0，联立解得
所以圆心为，半径r＝，
所以所求圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋y＋＝0.
规律方法　(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.
(2)(2018·苏北四市联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1，0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为________.
解析　(1)设出圆心的坐标，根据圆心到直线的距离求出圆心，再由点M(0，)在圆C上计算圆的半径，进而写出圆的方程.因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝CM＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2，
依题意得解得
于是圆C的标准方程为x2＋＝.
答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)x2＋＝
考点二　与圆有关的最值问题
【例2】 (1)(2018·盐城检测)已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.
(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.
(1)解　设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，
解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(2)解析　直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案　(x－1)2＋y2＝2
规律方法　与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题.
【训练2】 (2018·扬州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值.
解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆.

设＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值.
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，
由点到直线的距离公式，得＝，
即b＝－2±，
故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，
与圆交于B点，并延长交圆于C′，则
(x2＋y2)max＝(OC′)2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝OB2＝(2－)2＝7－4.
考点三　与圆有关的轨迹问题
【例3】 (2018·盐城模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解　(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，
PN＝BN.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
规律方法　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
【训练3】 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，

故＝，＝.从而
又N(x＋3，y－4)在圆上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为以(－3，4)为圆心，以2为半径的圆，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况).

一、必做题
1.(2018·苏州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.
解析　由题意，直线ax＋y－1＝0的斜率－a＝＝－，∴a＝.
答案　
2.已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1，直线l：y＝2x＋2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方，则圆M的标准方程是________.
解析　点M到l的距离d＝＝.
设M(0，a)，所以＝，
所以a＝1或a＝3.
又因为a