2020版江苏高考数学一轮复习学案：第16章 第9课《独立性与二项分布》(含解析)
展开第9课__独立性与二项分布____
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1. 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 2. 了解取有限的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差. |
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1. 阅读：选修23第56～66页． 2. 解悟：①电路系统正常工作试验；②二项分布中种子出苗和射击目标试验；③重解第61页例3；第65页例2，体会解题方法并注意解题规范． 3. 践习：完成教材空白处，做62页练习第3题，66页练习第2、3题. |
基础诊断
1. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，5}，事件B＝{1，2，4，5，6}，则P(A|B)＝________．
2. 若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X＝1)的值为________．
3. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．
4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．
范例导航
考向 | 相互独立事件的概率 |
例1 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度. 不超过22千米的地铁票价如下表：
乘坐里程x(单位：km) | 0<x≤6 | 6<x≤12 | 12<x≤22 |
票价(单位：元) | 3 | 4 | 5 |
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.
(1) 求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；
(2) 设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布．
甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：
(1) 两人都击中目标的概率；
(2) 其中恰有一人击中目标的概率；
(3) 至少有一人击中目标的概率．
考向 | 根据独立重复试验求二项分布 |
例2 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1) 设每盘游戏获得的分数为X，求X的概率分布；
(2) 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都是，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
(1) 求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2) 求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的概率分布．
考向 | 根据独立重复试验求概率 |
例3 某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下．
(1) 求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；
(2) 设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望．
汽车车牌尾号 | 车辆限行日 |
0和5 | 星期一 |
1和6 | 星期二 |
2和7 | 星期三 |
3和8 | 星期四 |
4和9 | 星期五 |
自测反馈
1. 小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．
2. 口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码，则X的期望E(X)的值是________．
3. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．
4. 某选手每次射击击中目标的概率都是，这名选手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．
1. 相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一试验中，两个事件不会同时发生；求用“最少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．
2. 解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意识别题中的离散型随机变量服从什么分布．
3. 独立重复试验是同一试验的n次重复，每次试验结果的概率不受其他结果的影响，每次试验有两个结果：成功和失败. n次试验中A恰好出现了k次的概率为Cpk(1－p)n－k，这k次是n次中的任意k次，若是指定的k次，则概率为pk(1－p)n－k.
4. 你还有哪些体悟，写下来：
第9课 独立性与二项分布
基础诊断
1. 解析：由题意，因为S＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，3，5}，事件B＝{1，2，4，5，6}，所以事件AB＝{2，5}，则P(AB)＝.因为P(B)＝，所以P(A|B)＝＝＝.
2. 3×2－10 解析：由题意得E(X)＝np＝6，V(X)＝np(1－p)＝3，解得n＝12，p＝，则P(X＝1)＝C·×＝3×2－10.
3. 0.648 解析：该同学通过测试的概率为C×0.62×0.4＋C×0.63＝0.648.
4. 解析：由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一次硬币正面向上)的概率为P＝1－×＝.因为2次独立试验成功次数X～B，则E(X)＝2×＝.
范例导航
例1 解析：(1) 由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1＝×＋×＋×＝，所以甲、乙两人所付乘车费用不同的概率P＝1－P1＝1－＝.
(2) 由题意可知ξ＝6，7，8，9，10，
则P(ξ＝6)＝×＝，
P(ξ＝7)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝9)＝×＋×＝，
P(ξ＝10)＝×＝，
所以ξ的概率分布为
ξ | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
P |
解析：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B. “两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是AB∪AB；“至少有1人击中目标”是AB∪AB∪AB.
(1) 显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.
(2) “两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即AB)，另一种是甲未击中乙击中(即AB)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件AB与AB是互斥的，所以所求概率为P＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.
(3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率，
方法一：P＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.64＋0.32＝0.96.
方法二：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的对立事件是“两人都未击中目标”(即A B)，则P(A B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.8)×(1－0.8)＝0.04，则P＝1－P(A B)＝1－0.04＝0.96.
【注】 本例题突出求相互独立事件同时发生的概率时：(1) 首先判断几个事件的发生是否相互独立；(2) 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
例2 解析：(1) X可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C××＝；
P(X＝20)＝C××＝；
P(X＝100)＝C××＝；
P(X＝－200)＝C××＝，
所以X的概率分布为
X | 10 | 20 | 100 | －200 |
P |
(2) 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝，
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为P＝1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.
解析：(1) 设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．
因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，所以P(A)＝C·＋C＝.
(2) 所含“获奖”和“待定”票票数之和X的值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝C＝；
P(X＝2)＝C＝；
P(X＝3)＝＝，
因此X的概率分布为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
【注】 本例题主要是根据独立重复试验求二项分布，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
例3 解析：(1) 记该公司在星期四至少有2辆汽车出车为事件A，则A为该公司在星期四最多有一辆汽车出车．
P(A)＝×＋C×××＋C×××＝，
所以P(A)＝1－P(A)＝，
故该公司在星期四至少有2辆汽车出车概率为.
(2) 由题意，ξ的可能值为0，1，2，3，4，
则P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝1)＝C×××＋C×××＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＋C×××C××＝，
P(ξ＝3)＝C××＋C××＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
所以ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
故E(ξ)＝＋2×＋3×＋4×＝.
【注】 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式依据条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值公式直接求解．
自测反馈
1. 解析：由题意可知他每次通过的概率为，他不能通过的概率为1－＝，连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是C××＝.
2. 4.5 解析：由题意可知，取出的最大球数可以是3，4，5.当X＝3时，其概率为＝；当X＝4时，其概率为＝；当X＝5时，其概率为＝.那么X的期望值E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
3. 解析：分别记两个实习生加工一个零件为一等品的事件为A，B，则由题意可知P(A)＝，P(B)＝，且A，B相互独立．两个零件中恰有一个一等品的概率为P＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋×＝.
4. 解析：设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标为事件A，则P(A)＝P(A1A2A3A4 A5)＋P(A1A2A3A4A5)＋P(A1 A2A3A4A5)＝×＋××＋×＝.
