2020版江苏高考数学一轮复习学案：第64课《通项与求和》(含解析)

第64课　通项与求和(1)

1. 熟练掌握等差、等比数列的通项公式，能将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求通项.

2. 掌握求非等差、等比数列的通项公式的常用方法.

1. 阅读：必修5第37～39页、第51～53页.

2. 解悟：①等差数列和等比数列通项公式形式的联系与区别；②体会课本中推出等差数列和等比数列通项公式的方法；③整理求数列通项公式的常用方法.

3. 践习：在教材空白处，完成第39页思考、第41页第10题，第53页思考、第54页第4题.

　基础诊断　

1. 已知等差数列{an}的公差为d，则an－am＝　(n－m)d　.

解析：因为数列{an}是等差数列，且公差为d，所以an－am＝a1＋(n－1)d－[a1＋(m－1)d]＝(n－m)d.

2. 在数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝　　.

解析：当n≥2时，an＝a1××××…×＝1××××…×＝；当n＝1时也成立，故an＝.

3. 若数列{an}满足a1＝1，an＝n＋an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　an＝　.

解析：由an＝n＋an－1可变形为an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，由此可写出以下各式：an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a2－a1＝2，将以上等式两边分别相加，得an－a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2，所以an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝.

4. 在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，任意连续的三项an，an＋1，an＋2的关系是　an＋2＝an＋an＋1　.

　范例导航　

考向❶  利用“累乘、累加”法求通项

例1　已知数列{an}满足a1＝，数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝2bn.求数列{an}，{bn}的通项公式.

解析：因为Sn＝n2an(n∈N*)，

当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，

所以an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，

所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝.

又a1＝，

所以an＝×××…×××a1＝×××…×××＝.

当n＝1时，上式成立，故an＝.

因为b1＝2，bn＋1＝2bn，

所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn＝2n.

已知a1＝2，an＋1＝an＋ln，求数列{an}的通项公式.

解析：因为an＋1＝an＋ln，

所以an－an－1＝ln＝ln(n≥2)，

所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋2

＝2＋ln

＝2＋lnn(n≥2).

又a1＝2满足上式，故an＝2＋lnn(n∈N*).

【注】 (1) 形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求出通项，特别注意能消去多少项，保留多少项.

(2) 形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.

(3) 求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意配凑变形法. 变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明.

考向❷  构造等差、等比数列求通项

例2　(1) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式；

(2) 已知数列{an}满足a1＝2， an＋1＝2an＋2n＋1，求数列{an}的通项公式.

解析：(1) 因为an＋1＝3an＋2，

所以an＋1＋1＝3(an＋1).

又a1＝1，所以a1＋1＝2，

故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，

所以an＋1＝2×3n－1，

故an＝2×3n－1－1.

(2) 因为an＋1＝2an＋2n＋1，所以＝＋1.

又＝1，

故数列是首项为1，公差为1的等差数列，

所以＝n，即an＝n·2n.

已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求数列{an}的通项公式.

解析：因为a1＝2，an＋1＝，

所以2a＝an，且an>0，

两边取对数，得lg 2＋2lg an＋1＝lg an，

即lg an＋1＋lg 2＝(lg an＋lg 2).

因为lg a1＋lg 2＝2lg 2，

所以数列{lg an＋lg 2}是以2lg 2为首项，为公比的等比数列，

所以lg an＋lg 2＝2××lg 2，

所以an＝222－n－1.

【注】 (1) 此题通过两边同时取对数，将一个复杂的数列转化为等比数列.通常来说，我们可以将等比数列取对数后转化成等差数列.将等差数列放到指数函数y＝ax中转化为等比数列.

(2) 形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.

考向❸  由an与Sn的递推关系求通项

例3　记数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，求Sn.

解析：方法一：当n＝2时，S2＝2(a1＋a2)，

从而得a2＝－a1＝－1.

当n≥3时，Sn－1＝2(a1＋an－1)，

所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.

又a2≠2a1，

所以数列{an}是从第二项起以a2＝－1为首项，2为公比的等比数列，

所以当n≥2时，Sn＝1＋＝2－2n－1.

又S1＝a1＝1＝2－20，满足上式，

所以Sn＝2－2n－1.

方法二：当n＝2时，S2＝2(a1＋a2)，

从而a2＝－a1＝－1.

当n≥3时，an＝Sn－Sn－1，

所以Sn＝2(1＋Sn－Sn－1)，即Sn＝2Sn－1－2，

所以Sn－2＝2(Sn－1－2).

因为S2－2＝－2，S1－2＝－1，

所以S2－2＝2(S1－2)，

所以数列{Sn－2}是以－1为首项，2为公比的等比数列，

所以Sn－2＝(－1)·2n－1，即Sn＝2－2n－1.

已知数列{an}共有2k项(k≥2，k∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an＋1＝(p－1)·Sn＋2(n＝1，2，…，2k－1)，其中常数p>1.

(1) 求证：数列{an}是等比数列；

(2) 已知p＝2，数列{bn}满足：bn＝log2(a1a2…an)(n＝1，2，…，2k)，求数列{bn}的通项公式.

解析：(1) 因为an＋1＝(p－1)Sn＋2(n＝1，2，…，2k－1)，

所以an＝(p－1)Sn－1＋2(n＝2，3，…，2k)，

两式相减得an＋1－an＝(p－1)(Sn－Sn－1)，

即an＋1－an＝(p－1)an，

所以an＋1＝pan(n＝2，3，…，2k－1).

令n＝1，得a2＝(p－1)a1＋2＝pa1，

所以＝p≠0(n＝1，2，…，2k－1)，

所以{an}是等比数列.

(2) 由(1)得an＝a1pn－1，且a1＝2，

所以bn＝log2(a1a2…an)

＝log2(a1·a1p·a1p2·…·a1pn－1)

＝log2(a·p1＋2＋…＋n－1)

＝log2(a1·p)＝1＋log2p＝1＋·＝1＋.

【注】 一种思考方法是先求出数列{an}的通项公式，再求它的前n项和，所以将Sn转化为an，通过研究an来求和；另一种思考方法是直接研究数列{Sn}，所以将an转化为Sn后再求它的通项.这是研究Sn与an的关系问题时常用的两种解法，解题时要合理选择.

　自测反馈　

1. 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则a100＝　　.

解析：因为an＋1＝，所以＝＝＋，即－＝.又因为＝1，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，所以an＝，所以a100＝.

2. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n≥2，n∈N*)，则an＝　　.

解析：因为an＝，所以an>0，且a＝a＋1，即a－a＝1，所以数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a＝n，故an＝.

3. 若数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则an＝　2n－1　.

解析：因为Sn＝2an－1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，即2an－1＝an，所以＝2.因为a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1，当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1.　

4. 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n＋1)·(n＋2)(n∈N*)，则an＝　　

解析：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n＋1)(n＋2)　①，当n＝1时，a1＝(1＋1)×(1＋2)＝6；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝n(n＋1)　②，①－②得nan＝(n＋1)(n＋2)－n(n＋1)＝2n＋2，所以an＝＝2＋(n≥2).当n＝1时，a1＝6，不满足上式，所以an＝

1. 注意数列条件限制，如正项数列、等比数列中任意一项均不为0.要分清第n＋1项与第n项表达式之间的关系.

2. 已知Sn求an，要注意对n＝1情况的讨论.

3. 你还有那些体悟，写下来：