2020版江苏高考数学一轮复习学案：第62课《等 比 数 列》(含解析)

第62课　等 比 数 列

1. 等比数列的概念(B级要求).

2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(C级要求).

3. 根据具体的问题情境中的等比关系解决相应的问题(B级要求).

4. 等比数列与指数函数的关系(A级要求).

1. 阅读：必修5第49～62页.

2. 解悟：①理解等比数列、等比中项的定义及符号语言；②写出等比数列的常用性质；③体会课本中推出等比数列通项公式和求和公式的方法.

3. 践习：在教材空白处，完成第61、62页习题第3、4、5、9题.

　基础诊断　

1. 已知数列{an}为正项等比数列，a2＝9，a4＝4，则数列{an}的通项公式为an＝　9×()n－2　.

解析：设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝.又因为q>0，所以q＝，所以an＝9×.

2. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为　2　.

解析：因为S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，所以a1＝a1q＋3，a1(1＋q)＝a1q2＋3，所以q2－2q＝0.因为q≠0，所以q＝2.

3. 若等比数列{an}的通项公式为an＝4×31－n，则数列{an}是　递减　数列.(填“递增”或“递减”)

解析：因为对∀n∈N*，an>0，＝＝<1，所以an＋1<an，所以数列{an}是递减数列.

4. 设{an}是等比数列，下列四个命题中正确的命题是　①②③　.(填序号)

①{a}是等比数列；②{anan＋1}是等比数列；

③是等比数列；④{lg|an|}是等比数列.

解析：因为{an}是等比数列，所以＝q(q为定值).①＝＝q2，故①正确；②＝＝q2，故②正确；③＝＝，故③正确；④不一定是常数，故④不正确.

　范例导航　

考向❶  等比数列基本量的计算

例1　设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝　　Ｗ.　

解析： 显然公比q≠1，由题意得解得或(舍去)，所以S5＝＝＝.

等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝　32　.

解析：设数列{an}的公比为q(q≠1)，

则由题意得解得所以a8＝a1q7＝×27＝32.

【注】 等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.

考向❷  等比数列的判定与证明

例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

(1) 设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

(2) 求数列{an}的通项公式.

解析：(1) 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝S2＝4a1＋2，所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3.

又

由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，

所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).

因为bn＝an＋1－2an，所以bn＝2bn－1(n≥2)，

故数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.

(2) 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3×2n－1，

所以－＝，

故数列是首项为，公差为的等差数列，

所以＝＋(n－1)×＝，

故an＝(3n－1)×2n－2.

已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1) 证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2) 若S5＝，求λ的值.

解析：(1) 由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

所以a1＝，λ≠1，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即(λ－1)an＋1＝λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，

所以＝，

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

所以an＝·.

(2) 由(1)得Sn＝1－.

由S5＝得1－＝，即＝，

解得λ＝－1.

【注】 (1) 证明一个数列为等比数列常用定义法(作比—代入—得结论)与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

(2) 利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.

考向❸  等比数列性质的应用

例3　设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，记cn＝an＋bn.

(1) 求证：数列{cn＋1－cn－d}为等比数列；

(2) 已知数列{cn}的前4项分别为4，10，19，34，求数列{an}和{bn}的通项公式.

解析：(1) 由题意得cn＋1－cn－d＝(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)－d＝(an＋1－an)－d＋(bn＋1－bn)＝bn(q－1)≠0，

所以＝＝q.

因为c2－c1－d＝b1(q－1)≠0，

所以{cn＋1－cn－d}是首项为b1(q－1)，公比为q的等比数列.

(2) 方法一：由题意得数列{cn＋1－cn－d}的前3项分别为6－d，9－d，15－d，

则(9－d)2＝(6－d)(15－d)，解得d＝3，

所以q＝2.

又因为解得a1＝1，b1＝3，

所以an＝3n－2，bn＝3×2n－1.

方法二：由题意得

消去a1得

消去d得

消去b1得q＝2，

从而解得a1＝1，b1＝3，d＝3，

所以an＝3n－2，bn＝3×2n－1.

设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝　　.

解析：方法一：因为S6∶S3＝1∶2，所以数列{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝－，所以＝＝.

方法二：因为{an}是等比数列，且＝，所以公比q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝.

【注】 (1) 在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量.

(2) 等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等比数列，公比为qk(q≠－1).

　自测反馈　

1. 设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝　－8　.

解析：设数列{an}的公比为q，由题意得显然q≠1，a1≠0，由得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.

2. 设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为　64　.

解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意得

解得所以a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝2－＋.记t＝－＋＝－(n2－7n)，结合n∈N*，可知当n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数，所以a1a2…an的最大值为64.

3. 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝　50　.　

解析：因为{an}是等比数列，所以a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2·a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10·a11)＝10·lne5＝50lne＝50.

4. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6的值为　63　.

解析：方法一：由等比数列的性质，得q2＝＝4，所以q＝±2.又因为S2＝3，所以或所以S6＝＝＝63或S6＝＝＝63，即S6＝63.

方法二：由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.

1. 等比数列的通项公式与前n项和公式中的五个基本量：a1，q，n，an，Sn，知三求二.

2. 等比数列是一种特殊的数列，要注意和等差数列类比学习，但也要注意区别.

3. 你还有那些体悟，写下来：