2020版江苏高考数学一轮复习学案：第9课《二次函数》(含解析)

____第9课__二__次__函__数____1. 熟练掌握二次函数的图象和性质．2. 掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象和性质讨论一元二次方程根的分布．3. 能解决与二次函数有关的一些综合性问题.1. 二次函数的三种形式：一般式、顶点式和两根式，会根据条件选择合适的形式．2. 二次函数的图象是抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性等，结合这些图象特征解决二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．3. 二次函数性质的研究：首先根据二次函数的图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑；同时要特别关注二次函数的对称轴位置，即对称轴与所给区间的位置关系，这样可以得到二次函数的变化情况．此外要注意c的值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．4. 三个二次(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)以二次函数为核心，即二次函数图象与横轴的交点和在横轴的上方、下方.　基础诊断　1.  若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则b＝__6__．解析：由题意得－＝1，解得a＝－4，且＝1，即＝1，解得b＝6.2. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c且f(x1)＝f(x2)，则f＝____．解析：由题意可知，＝－，所以f＝a·＋b·＋c＝.3.  已知二次函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围为__[1，2]__．解析：由题意得函数y＝x2－2x＋3图象的对称轴为直线x＝1.当x＝0时，y＝3，当x＝1时，y＝2，所以解得1≤m≤2，所以m的取值范围是[1，2]．4.  如果方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m的取值范围是__(－∞，－3)__．解析：设f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，由题意得，解得所以m<－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3)．　范例导航　考向❶  通过分类讨论对称轴与区间的位置关系，利用数形结合求最值　　例1　求函数f(x)＝x2－2ax＋2(x∈[2，4])的最小值．解析：f(x)图象的对称轴是直线x＝a，可分以下三种情况：①当a＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min＝f(2)＝6－4a；②当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2；③当a＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min＝f(4)＝18－8a.综上所述，f(x)min＝已知函数f(x)＝x2－2x＋2(x∈[t，t＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．解析：由题意得，f(x)＝(x－1)2＋1.①当t＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1; ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝f(1)＝1; ③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.综上所述，g(t)＝考向❷  利用三个二次之间的关系，以二次函数为核心解决问题　　例2　已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图象过点(0，－3)，且f(x)>0的解集为(1，3)．(1) 若函数f(x)＝f(x)－mx在区间(0，1)上单调递增，求实数m的取值范围；(2) 求函数G(x)＝f(sinx)在x∈上的最值．解析：(1) 因为f(x)>0的解集为(1，3)，所以二次函数与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，所以可设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又因为函数图象过点(0，－3)，代入f(x)得3a＝－3，解得a＝－1，所以f(x)＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3，所以f(x)＝－x2＋4x－3－mx＝－x2＋(4－m)x－3.因为函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，所以－≥1，解得m≤2，故实数m的取值范围是(－∞，2]．(2) 由题意得，G(x)＝－sin2x＋4sinx－3＝－(sinx－2)2＋1.因为x∈，所以sinx∈[0，1]，所以当sinx＝0时，G(x)min＝－3；当sinx＝1时，G(x)max＝0，故函数G(x)的最大值为0，最小值为－3.若关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实数根，试确定实数a的取值范围．解析：由已知得a＝－sin2x－cosx＝cos2x－cosx－1＝－.因为－1≤cosx≤1，所以a的取值范围是. 考向❸  与绝对值综合的二次函数问题　　例3　已知a∈R，函数f(x)＝x|x－a|.(1) 当a＝2时，写出函数y＝f(x)的单调增区间；(2) 当a>2时，求函数y＝f(x)在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a≠0，函数y＝f(x)在区间(m，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围(用a表示)．解析：(1) 当a＝2时，f(x)＝x|x－2|＝由图象可知，y＝f(x)的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．(2) 因为a>2，x∈[1，2]，所以f(x)＝x(a－x)＝－x2＋ax＝－＋.当1<≤，即2<a≤3时，f(x)min＝f(2)＝2a－4；当>，即a>3时，f(x)min＝f(1)＝a－1，所以f(x)min＝(3) f(x)＝①当a>0时，图象如图1所示.  由得x＝a，所以0≤m<，a<n≤ a.②当a<0时，图象如图2所示．由得x＝a，所以a≤m<a，<n≤0.图1  　　图2　自测反馈　1. 已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a，b的值为__，0__．解析：由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax2－bx＋3a＋b＝ax2＋bx＋3a＋b，即2bx＝0对任意x恒成立，所以b＝0.又因为a－1＝－2a，解得a＝，所以a，b的值分别为，0.2.  函数y＝－x2＋2＋3的单调减区间是__[－1，0]和[1，＋∞)__．解析：令f(x)＝－x2＋2|x|＋3，所以f(x)＝即f(x)＝所以当x≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．3. 若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间上的最大值为4，则a的值为__－1或1__．解析：由题意得，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴为直线x＝1.当a≥0时，f(a＋2)＝4，即(a＋2)2－2(a＋2)＋1＝4，解得a＝1或a＝－3(舍去)；当a<0时，f(a)＝4，即a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3(舍去)．综上，a的值为1或－1.4.  若不等式x4＋2x2＋a2－a－2≥0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是__(－∞，－1]∪[2，＋∞)__. 解析：由题意得x4＋2x2＋a2－a－2≥0，即(x2＋1)2≥－a2＋a＋3，所以－a2＋a＋3≤1，解得a≥2或a≤－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 1. 求二次函数在给定区间上的值域时，要注意对称轴和给定区间的位置关系，必要时进行讨论．2. 抓住三个二次的核心，运用二次函数的图象和性质解决有关二次型问题．3. 你还有哪些体悟，写下来：