2021年高考数学一轮精选练习：40《空间点、直线、平面之间的位置关系》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

40《空间点、直线、平面之间的位置关系》

一         、选择题

1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　 　)

2.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　 　)

A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c

3.若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(　　)

①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；

②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；

③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；

④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.

A.②         B.②③         C.①③       D.②④

4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　 　)

A.1条        B.2条          C.3条        D.4条

5.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是(　　)

A.4π       B.π       C.2π          D.

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　 　)

A.0＜θ＜     B.0＜θ≤    C.0≤θ≤     D.0＜θ≤

7.如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　 　)

A.A，M，O三点共线         B.A，M，O，A1不共面

C.A，M，C，O不共面        D.B，B1，O，M共面

8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

A.         B.        C.           D.

9.正四棱锥P-ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD是正方形，E为PC的中点，若异面直线PA与BE所成的角为45°，则该四棱锥的体积是(　　)

A.4         B.2         C.         D.

10.如图是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　 　)

A.         B.         C.         D.

二         、填空题

11.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是　     　.

12.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为　  　.

13.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是　 　.(填序号)

①BM是定值；

②点M在某个球面上运动；

③存在某个位置，使DE⊥A1C；

④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.

14.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥BC,2AC=2BC=CC1=4，点N为CC1的中点，P为线段AC(包含端点)上一动点，给出以下四个结论：

①直线BP与直线B1A1为异面直线；

②P到平面A1B1N的距离是定值；

③A1P与B1N所成角最小为45°；

④B1P与平面A1PN所成角余弦值的最小值为.

其中正确结论的序号为　  　.

三         、解答题

15.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.

已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：

(1)三棱锥P-ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.

16.如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，

∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥平面α，垂足为O.

(1)证明：AB⊥平面ODE；

(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.

答案解析

1.答案为：D；

解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面.

2.答案为：C；

解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.

3.答案为：A；

解析：对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；

对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；

对于③，还有可能n∥β，n⊂β或n与β相交，③错误；

对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错误.

4.答案为：D；

解析：如图，连接体对角线AC1，

显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.

联想正方体的其他体对角线，

如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，

∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，

同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条.

5.答案为：D；

解析：连接DN，则△MDN为直角三角形，

在Rt△MDN中，MN=2，P为MN的中点，连接DP，则DP=1，

所以点P在以D为球心，半径R=1的球面上，

又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，

故所求面积S=×4πR2=.

6.答案为：D；

解析：连接CD1，CA.

∵A1B∥D1C，∴异面直线CP与A1B所成的角即为CP与D1C所成的角.

∵△AD1C是正三角形，∴当P与A重合时，所成角最大，为.

又∵P不能与D1重合(此时D1C与A1B平行，不是异面直线)，

∴θ∈，故选D.

7.答案为：A；

解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，

所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，

因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，

又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，

因为平面ACC1A1∩平面AB1D1=AO，所以M∈AO，所以A，M，O三点共线.

8.答案为：C；

解析：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，

则∠ANQ或其补角的余弦值即为所求，设BC=CA=CC1=2，

则AQ=，AN=，QN=，

∴cos∠ANQ====.

9.答案为：D；

解析：如图所示，连接AC，BD.设AC∩BD=O，连接PO，OE，

∵O，E分别是AC和PC的中点，∴OE∥PA，OE=PA=1，

则∠BEO或其补角即为异面直线PA与BE所成的角.

∵底面ABCD是正方形，∴BO⊥AC，

又PO⊥OB，PO∩AC=O，∴BO⊥平面PAC，则BO⊥OE，

∴△BOE是等腰直角三角形，∴OB=OE=1，PO==，BC=，

则四棱锥P-ABCD的体积V=×()2×=，故选D.

10.答案为：A；

解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，

从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB=AC=2，AD=1，O是BC的中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE=1，又可知AE=1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角三角形DAE中，DE=，由于O是BC的中点，在直角三角形ABC中可以求得AO=，在直角三角形DAO中可以求得DO=.在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE==，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为，故选A.

一         、填空题

11.答案为：②③④；

解析：还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合.如图所示.

易知GH与EF异面，BD与MN异面.

又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，

易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.

12.答案为：；

解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，如图.

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，

因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D=AD，

所以直线AC1与AD所成角的正切值为，

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.

13.答案为：③；

解析：取DC的中点F，连接MF，BF，

则MF∥A1D且MF=A1D，FB∥ED且FB=ED，

所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，

所以M是在以B为球心，MB为半径的球面上，可得①②正确；

由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；

若存在某个位置，使DE⊥A1C，则因为DE2＋CE2=CD2，即CE⊥DE，

因为A1C∩CE=C，则DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，故③不正确.

14.答案为：③④；

解析：①若P点与A点重合，则BP∥B1A1，故①错；

②记P到平面A1B1N的距离为h1，平面三角形A1PN的面积S△A1PN在变化，

点B1到平面A1PN1的距离h2为定值，又三角形A1B1N的面积S△A1B1N为定值，

所以VP-A1B1N=VB1-A1PN，即S△A1B1N·h1=S△A1PN·h2，

所以h1不是定值，②错.

③如图所示，建立空间直角坐标系，A1(0,0,0)，P(0，y0,4)，B1(2,2,0)，N(0,2,2)，

=(0，y0,4)，=(－2,0,2)，记A1P与B1N所成角为θ，

则cosθ==(0≤y0≤2)，(cosθ)max=，所以θ的最小值为45°.

④连接PC1.B1C1⊥平面AA1C1C，则∠B1PC1即为线面角，tan∠B1PC1=，B1C1为定值，

当tan∠B1PC1最大时，PC1最小，cos∠B1PC1最小，

所以当P与C重合时，(cos∠B1PC1)min=.

二         、解答题

15.解：(1)S△ABC=×2×2=2，

三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，

则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).

在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2，cos∠ADE==.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

16.解：(1)证明，∵DO⊥α，AB⊂α，

∴DO⊥AB.

连接BD，由题意知，△ABD是正三角形.

又E是AB的中点，∴DE⊥AB.

而DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE.

(2)∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，

即∠ADO是异面直线BC与OD所成的角.

由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.

又DE⊥AB，∴∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，即∠DEO=60°.

不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=.

在Rt△DOE中，DO=DE·sin60°=.

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO===.

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.