2021年高考数学一轮精选练习：46《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

46《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》

一         、选择题

1.直线x＋y＋1=0的倾斜角是(　  　)

A.           B.        C.          D.

2.直线x＋(a2＋1)y＋1=0的倾斜角的取值范围是(　 　)

A.                   B.

C.∪         D.∪

3.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a=(　 　)

A.1±或0    B.或0    C.    D.或0

4.已知直线l过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是(　 　)

A.3x＋y－6=0    B.x＋3y－10=0     C.3x－y=0     D.x－3y＋8=0

5.已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　 　)

A.4x－3y－3=0   B.3x－4y－3=0    C.3x－4y－4=0    D.4x－3y－4=0

6.设P为曲线C：y=x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　 　)

A.[-1，-0.5]     B.[－1,0]     C.[0,1]      D.[1，2]

7.直线(a－1)x＋y－a－3=0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　 　)

A.1          B.        C.2          D.3

8.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　 　)

A.150°        B.135°       C.120°         D.不存在

二         、填空题

9.记直线l：2x－y＋1=0的倾斜角为α，则＋tan2α的值为　　     .

10.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b=0与线段AB相交，则b的取值范围是　　.

11.设m∈R，过定点A的动直线x＋my=0和过定点B的动直线mx－y－m＋3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是　 　.

12.已知点P在直线x＋3y－2=0上，点Q在直线x＋3y＋6=0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0＜x0＋2，则的取值范围是            .

三         、解答题

13.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3,4)；

(2)斜率为.

14.过点P(4,1)作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点.

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.

答案解析

1.答案为：D；

解析：由直线的方程得直线的斜率为k=－，设倾斜角为α，

则tanα=－，所以α=.

2.答案为：B；

解析：由直线方程可得该直线的斜率为－，

又－1≤－＜0，所以倾斜角的取值范围是.

3.答案为：A；

解析：由题意知kAB=kAC，即=，即a(a2－2a－1)=0，解得a=0或a=1±.

4.答案为：A；

解析：设直线l的方程为＋=1(a＞0，b＞0).

由题意得解得a=2，b=6.故直线l的方程为＋=1，

即3x＋y－6=0，故选A.

5.答案为：D；

解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，

因为直线l0：x－2y－2=0的斜率为，则tanα=，

所以直线l的斜率k=tan2α===，

所以由点斜式可得直线l的方程为y－0=(x－1)，即4x－3y－4=0.

6.答案为：A；

解析：由题意知y′=2x＋2，设P(x0，y0)，则k=2x0＋2.

因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是，则0≤k≤1，

即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－0.5.

7.答案为：D；

解析：当x=0时，y=a＋3，当y=0时，x=，令t=a＋3＋=5＋(a－1)＋.

因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2 =9.

当且仅当a－1=，即a=3时，等号成立.

8.答案为：A；

解析：由y=，得x2＋y2=2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，

以为半径的圆的一部分，其图象如图所示.

显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y=k(x－2)，

则圆心到此直线的距离d=，弦长|AB|=2 =2 ，

所以S△AOB=××2 ≤=1，当且仅当(2k)2=2－2k2，

即k2=时等号成立，由图可得k=－(k=舍去)，故直线l的倾斜角为150°.

一         、填空题

9.答案为：－；

解析：∵直线l：2x－y＋1=0的斜率为2，∴tanα=2，

∴sin2α====，tan2α===－，

∴＋tan2α=－=－.

10.答案为：[－2,2]；

解析：b为直线y=－2x＋b在y轴上的截距，

如图，当直线y=－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值.

∴b的取值范围是[－2,2].

11.答案为：5；

解析：易求定点A(0,0)，B(1,3).当P与A和B均不重合时，

因为P为直线x＋my=0与mx－y－m＋3=0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，

所以|PA|2＋|PB|2=|AB|2=10，

所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时，等号成立)，

当P与A或B重合时，|PA|·|PB|=0，故|PA|·|PB|的最大值是5.

12.答案为：∪(0，＋∞)；

解析：依题意可得=，化简得x0＋3y0＋2=0，

又y0＜x0＋2，kOM=，在坐标轴上作出两直线，

如图，当点M位于线段AB(不包括端点)上时，kOM＞0，

当点M位于射线BN上除B点外时，kOM＜－.

所以的取值范围是∪(0，＋∞).

二         、解答题

13.解：(1)设直线l的方程为y=k(x＋3)＋4，

它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

由已知，得(3k＋4)=±6，解得k1=－，k2=－.

故直线l的方程为2x＋3y－6=0或8x＋3y＋12=0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，

则直线l的方程为y=x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·b|=6，∴b=±1.

∴直线l的方程为x－6y＋6=0或x－6y－6=0.

14.解：设直线l：＋=1(a＞0，b＞0)，

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋=1.

(1)因为＋=1≥2 =，

所以ab≥16，当且仅当a=8，b=2时等号成立，

所以当a=8，b=2时，S△AOB=ab最小，

此时直线l的方程为＋=1，即x＋4y－8=0.

(2)因为＋=1，a＞0，b＞0，

所以|OA|＋|OB|=a＋b=(a＋b)·=5＋＋≥5＋2 =9，

当且仅当a=6，b=3时等号成立，

所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋=1，即x＋2y－6=0.