2021版高考数学苏教版一轮教师用书：7.2空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

[最新考纲]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

1. 四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理3：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

拓展：公理3的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：(0°，90°]．

拓展：异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．

3．空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

(1)空间中直线与平面的位置关系

 (2)空间中平面与平面的位置关系

4.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．               (　　)

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (　　)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． (　　)

(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．  (　　)

[答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

C　[由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾．]

2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)

A．30°　　　　　　　　 B．45°

C．60°   D．90°

C　[连接B1D1，D1C(图略)，

则B1D1∥EF，

故∠D1B1C为所求的角，

又B1D1＝B1C＝D1C，

∴∠D1B1C＝60°.]

3．下列命题正确的是(　　)

A．两个平面如果有公共点，那么一定相交

B．两个平面的公共点一定共线

C．两个平面有3个公共点一定重合

D．过空间任意三点，一定有一个平面

D　[如果两个平面重合，则排除A，B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个点．]

4.如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

(1)当AC，BD满足条件        时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件        时，四边形EFGH为正方形．

 (1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　[(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.

(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，

∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，

∴AC＝BD且AC⊥BD.]

考点1　平面的基本性质及应用

　共面、共线、共点问题的证明

(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．

(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

　如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．

　 本例第(1)问的证明应用了公理2的推论，采用线线共面，则线上的点必共面的思想；本例第(2)问的证明应用了公理3，采用先证明CE与D1F相交，再证明交点在直线DA上．

　1.(2019·衡水中学模拟)有下列四个命题：

①空间四点共面，则其中必有三点共线；

②空间四点不共面，则其中任意三点不共线；

③空间四点中有三点共线，则此四点共面；

④空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面．

其中真命题的所有序号有        ．

②③　[①中，对于平面四边形来说不成立，故①是假命题；②中，若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故②是真命题；由②的分析可知③是真命题；④中，平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故④是假命题．]

2.如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．

[证明](1)因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EF∥BD.

在△BCD中，＝＝，

所以GH∥BD，

所以EF∥GH.

所以E，F，G，H四点共面．

(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.

所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

所以P∈AC，

所以P，A，C三点共线．

考点2　判断空间两直线的位置关系

　空间中两直线位置关系的判定方法

　1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

D　[法一：(反证法)　由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．

法二：(模型法)如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．

]

图(1)　　　　图(2)

2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)

A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

B　[如图所示， 作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F.

连接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，

∴△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，

MF＝，BF＝，

∴BM＝.

∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中点，∴点N在BD上，且BN＝DN.

又∵M为ED的中点，

∴BM，EN为△DBE的中线，

∴BM，EN必相交．故选B.]

3．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有        ．(填序号)

①　　　 　②　　　 　③　　　　④

②④　[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．]

　在直接判断不好处理的情况下，反证法、模型法(如构造几何体：正方体、空间四边形等)和特例排除法等是解决此类问题的三种常用便捷方法．

考点3　异面直线所成的角

　1.平移法求异面直线所成角的一般步骤

(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角．

(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小．

提醒：异面直线所成的角θ∈.

2.坐标法求异面直线所成的角：当题设中含有两两垂直的三边关系时，常采用坐标法．

提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

(1)[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

(2)如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

①求证：直线EF与BD是异面直线；

②若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

(1)C　[法一：(平移法)如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，,DM＝＝，

DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，

得cos∠MOD＝＝，

即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.

故选C.

法二：(坐标法)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.

法三：(补体法)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA­A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.

在△DB′B1中，由余弦定理，得

DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，

即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，

∴cos∠DB1B′＝.故选C.]

(2)[解]　①证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

②取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，

所以相交直线EF与EG所成的角，

即为异面直线EF与BD所成的角．

又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.

在Rt△EGF中，由EG＝FG

＝AC，求得∠FEG＝45°，

即异面直线EF与BD所成的角为45°.

　平移法、坐标法和补体法是求两条异面直线所成角的大小的三种常用方法，其中平移法和补体法的实质是平行移动直线，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．

[教师备选例题]

1．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

　A　[如图，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.

∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，

且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.

因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.]

2．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是        ．(填写所有正确结论的编号)

②③　[依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.

由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．

设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B(cos θ，sin θ，0)，

∴＝(cos θ，sin θ，－1)，||＝.

设直线AB与a所成夹角为α，

则cos α＝＝|sin θ|∈，

∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误．

设直线AB与b所成夹角为β，

则cos β＝＝|cos θ|.

当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时，

则|sin θ|＝cos α＝cos 60°＝，

∴|cos θ|＝.∴cos β＝|cos θ|＝.

∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°.

∴②正确，①错误．]

　1.(2019·聊城一模)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故选D.]

2．(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是        ．

②③④　[还原成正四面体A­DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．

易知GH与EF异面，BD与MN异面．

连接GM，∵△GMH为等边三角形，

∴GH与MN成60°角，

易证DE⊥AF，又MN∥AF，

∴MN⊥DE.

因此正确命题的序号是②③④.]