高考数学一轮复习第七章 7.2空间点、直线、平面之间的位置关系

这是一份高考数学一轮复习第七章 7.2空间点、直线、平面之间的位置关系，共16页。试卷主要包含了四个公理，直线与直线的位置关系，等角定理，如图是正方体的平面展开图等内容，欢迎下载使用。
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行直线,相交直线)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
概念方法微思考
1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？
提示 不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．
2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？
提示 不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )
(3)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )
(4)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．( × )
题组二 教材改编
2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.
3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝eq \f(1,2)AC，EH＝eq \f(1,2)BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
题组三 易错自纠
4．(2019·上海市金山中学月考)设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么( )
A．直线l不平行于直线m
B．直线l与直线m异面
C．直线l与直线m没有公共点
D．直线l与直线m不垂直
答案 C
解析 ∵直线l与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，又直线m在平面α上，
∴直线l与直线m没有公共点，故选C.
5．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
答案 D
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．
答案 3
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有且只有3对．
平面基本性质的应用
例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF0)，则AA1＝tAB.∵AB＝1，∴AA1＝t.
∵A1C1＝eq \r(2)，A1B＝eq \r(t2＋1)＝BC1，
∴cs∠A1BC1＝eq \f(A1B2＋BC\\al(2,1)－A1C\\al(2,1),2×A1B×BC1)
＝eq \f(t2＋1＋t2＋1－2,2×\r(t2＋1)×\r(t2＋1))＝eq \f(9,10).
∴t＝3，即eq \f(AA1,AB)＝3.
思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
(3)三求：解三角形，求出所作的角．
跟踪训练3 (2019·西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
答案 B
解析 如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，
则ON∥CD，MN∥AB，
且ON＝eq \f(1,2)CD，MN＝eq \f(1,2)AB，
所以∠ONM或其补角即为所求的角．
因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC⊂平面ACD，
所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.
设正方形边长为2，OB＝OD＝eq \r(2)，
所以BD＝2，
则OM＝eq \f(1,2)BD＝1.
所以ON＝MN＝OM＝1.
所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.
所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．
2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.
3．(2020·秦皇岛模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
答案 C
解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线ACB．直线AB
C．直线CDD．直线BC
答案 C
解析 由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
5.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是( )
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面
答案 A
解析 连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四点共面，
∴A1C⊂平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
6．(2019·海南联考)在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为4eq \r(2)，底面是边长为2eq \r(6)的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，
取N为OC的中点，连接MN，所以OP∥MN，
则∠BMN是异面直线OP与BM所成的角．
因为OP⊥平面ABCD，
所以MN⊥平面ABCD，
因为在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为4eq \r(2)，底面是边长为2eq \r(6)的正方形，
所以OC＝2eq \r(3)，所以OP＝eq \r(32－12)＝2eq \r(5)，
因此MN＝eq \r(5)，
在Rt△BON中，BN＝eq \r(OB2＋ON2)＝eq \r(15)，
∴tan∠BMN＝eq \f(BN,MN)＝eq \r(3)，∴∠BMN＝60°，
则异面直线OP与BM所成的角为60°.故选C.
7．(多选)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是( )
A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线
C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直
答案 CD
解析 由题意画出正方体的图形如图，
显然AB不正确；
∠ANC＝60°，即CN与BM成60°角，C正确；
因为BC⊥DM，CN⊥DM，BC∩CN＝C，BC，CN⊂平面BCN，所以DM⊥平面BCN，又BN⊂平面BCN，所以DM⊥BN，所以D正确．
故选CD.
8．(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的说法是( )
A．若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变
B．若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1
C．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
D．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角
答案 AB
解析 对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，
则P到平面AD1C的距离不变，
由△AD1C的面积为定值，
可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；
对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，
则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；
对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，最大值为arctan eq \r(2)＜eq \f(π,3)，故C错误；
对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为eq \f(π,2)，故D错误．
所以其中说法正确的是A，B.
9．正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．
答案 6
解析 如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．
10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
答案 eq \r(2)
解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝eq \r(2)AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq \r(2)，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq \r(2).
11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
＝eq \f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
12.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解 (1)S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)，三棱锥P－ABC的体积为V＝eq \f(1,3)S△ABC·PA＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×2＝eq \f(4\r(3),3).
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，
所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq \r(2)，AD＝2，
cs∠ADE＝eq \f(AD2＋DE2－AE2,2×AD×DE)＝eq \f(22＋22－2,2×2×2)＝eq \f(3,4).
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq \f(3,4).
13．(2019·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是( )
A．当|CD|＝2|AB|时，M，N不可能重合
B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交
D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行
答案 B
解析 A选项：当|CD|＝2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项：若M，N可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B.
14．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，
∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面CB1D1∩平面A1B1C1D1
＝B1D1，∴B1D1∥m1，
∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.
故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．
又∵B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，
∴∠CD1B1＝eq \f(π,3)，
得sin∠CD1B1＝eq \f(\r(3),2)，故选A.
15.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝eq \r(3)ED＝eq \r(3)AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(5π,12)))
解析 如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．
则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝eq \r(3)ED＝eq \r(3)AB，故∠PBA＝∠EB1D＝eq \f(π,3).而DE＝DC＝1，故∠ECD＝eq \f(π,4)，所以∠CEB1＝eq \f(π,3)－eq \f(π,4)＝eq \f(π,12).而∠EC2D＝∠ECD＝eq \f(π,4)，故∠B1EC2＝π－eq \f(π,4)－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,12).所以所求线线角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(5π,12))).
16.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.
(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．
解 (1)方法一 如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.
因为EC⊥AC，OM，EC⊂平面ACC1A1，
所以OM∥EC.
又因为EC＝2FB＝2，EC∥FB，
所以OM∥FB且OM＝eq \f(1,2)EC＝FB，
所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.
因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．
方法二 如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.
因为EC＝2FB＝2，
所以PE∥BF且PE＝BF，
所以四边形PEFB为平行四边形，
所以PB∥EF，PQ∥AE，
又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，
所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，
因为PB∩PQ＝P，PB，PQ⊂平面PBQ，
所以平面PBQ∥平面AEF.
又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，
此时点M为AC的中点．
(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．
易求AF＝EF＝eq \r(5)，MB＝OF＝eq \r(3)，OF⊥AE，
所以cs∠OFE＝eq \f(OF,EF)＝eq \f(\r(3),\r(5))＝eq \f(\r(15),5)，
所以BM与EF所成的角的余弦值为eq \f(\r(15),5).