2021年高考数学一轮精选练习：14《利用导数研究函数的单调性》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：14

《利用导数研究函数的单调性》

一         、选择题

1.函数y=x2－lnx的单调递减区间为(　 　)

A.(－1,1]         B.(0,1]        C.[1，＋∞)       D.(0，＋∞)

2.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　 　)

A.f(x)=sin2x    B.f(x)=xex    C.f(x)=x3－x     D.f(x)=－x＋lnx

3.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(　 　)

4.已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)＜0，且f(－1)=0，则f(x)＞0的解集为(　 　)

A.(－∞，－1)     B.(－1,1)      C.(－∞，0)       D.(－1，＋∞)

5.设函数f(x)=x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(1,2]        B.[4，＋∞)       C.(－∞，2]       D.(0,3]

6.已知f(x)=，则(　 　)

A.f(2)＞f(e)＞f(3)       B.f(3)＞f(e)＞f(2)

C.f(3)＞f(2)＞f(e)       D.f(e)＞f(3)＞f(2)

7.定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1，且2f′(x)＞1，当x∈时，不等式f(2cosx)＞－2sin2的解集为(　D　)

A.       B.        C.       D.

8.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，当x＞0，xf′(x)－f(x)＜0，若a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系正确的是(　 　)

A.a＜b＜c     B.b＜c＜a       C.a＜c＜b     D.c＜a＜b

9.若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是(　　)

A.f(x)=2－x      B.f(x)=x2       C.f(x)=3－x      D.f(x)=cosx

10.定义在区间(0，＋∞)上的函数y=f(x)使不等式2f(x)＜xf′(x)＜3f(x)恒成立，其中y=f′(x)为y=f(x)的导函数，则(　B　)

A.8＜＜16     B.4＜＜8    C.3＜＜4     D.2＜＜3

二         、填空题

11.若函数f(x)=ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是　         .

12.已知函数f(x)=－x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是       .

13.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1，f(x)的导数f′(x)＜，则不等式f(x2)＜＋的解集为            .

三         、解答题

14.已知函数f(x)=ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a=1，函数g(x)=(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围.

15.已知函数f(x)=alnx－ax－3(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)=x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围.

16.已知函数f(x)=(ax－1)ex，a∈R.

(1)讨论f(x)的单调区间；

(2)当m＞n＞0时，证明：men＋n＜nem＋m.

答案解析

1.答案为：B；

解析：y=x2－lnx，y′=x－==(x＞0).

令y′≤0，得0＜x≤1，所以递减区间为(0,1].

2.答案为：B；

解析：对于A，f(x)=sin2x的单调递增区间是(k∈Z)；

对于B，f′(x)=ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，

∴函数f(x)=xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)=3x2－1，

令f′(x)＞0，得x＞或x＜－，

∴函数f(x)=x3－x在和上单调递增；

对于D，f′(x)=－1＋=－，令f′(x)＞0，得0＜x＜1，

∴函数f(x)=－x＋lnx在区间(0,1)上单调递增.综上所述，故选B.

3.答案为：D；

解析：利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)＞0的解集对应y=f(x)的增区间，

f′(x)＜0的解集对应y=f(x)的减区间，验证只有D选项符合.

4.答案为：A；

解析：设g(x)=，则g′(x)=＜0在R上恒成立，

所以g(x)在R上递减，又因为g(－1)=0，f(x)＞0⇔g(x)＞0，所以x＜－1.

5.答案为：A；

解析：∵f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)=x－，

∴由f′(x)≤0解得0＜x≤3，由题意知解得1＜a≤2.

6.答案为：D；

解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，

∵f′(x)=，∴x∈(0，e)，f′(x)＞0，x∈(e，＋∞)，

f′(x)＜0，故x=e时，f(x)max=f(e)，而f(2)==，f(3)==，

则f(e)＞f(3)＞f(2).

7.答案为：D；

解析：令g(x)=f(x)－－，则g′(x)=f′(x)－＞0，∴g(x)在R上单调递增，

且g(1)=f(1)－－=0，∵f(2cosx)－＋2sin2=f(2cosx)－－=g(2cosx)，

∴f(2cosx)＞－2sin2，即g(2cosx)＞0，∴2cosx＞1.

又x∈，∴x∈.

8.答案为：D；

解析：设g(x)=，则g′(x)=，

∵当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，∴g′(x)＜0.

∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数.

由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)=g(3)，

又a=g(e)，b=g(ln2)，c=g(－3)=g(3)，∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，故c＜a＜b.

9.答案为：A；

解析：设函数g(x)=ex·f(x)，对于A，g(x)=ex·2－x=x，在定义域R上为增函数，A正确.对于B，g(x)=ex·x2，则g′(x)=x(x＋2)ex，由g′(x)＞0得x＜－2或x＞0，∴g(x)在定义域R上不是增函数，B不正确.对于C，g(x)=ex·3－x=x在定义域R上是减函数，C不正确.对于D，g(x)=ex·cosx，则g′(x)=excos，g′(x)＞0在定义域R上不恒成立，D不正确.

10.答案为：B；

解析：∵xf′(x)－2f(x)＞0，x＞0，

∴′==＞0，

∴y=在(0，＋∞)上单调递增，∴＞，即＞4.

∵xf′(x)－3f(x)＜0，x＞0，

∴′==＜0，

∴y=在(0，＋∞)上单调递减，∴＜，即＜8.

综上，4＜＜8.

11.答案为：(－3,0)∪(0，＋∞).

解析：由题意知f′(x)=3ax2＋6x－1，

由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点.

需满足a≠0，且Δ=36＋12a＞0，

解得a＞－3，所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞).

12.答案为：(0,1)∪(2,3)；

解析：由题意知f′(x)=－x＋4－=－，

由f′(x)=0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，

则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，

函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，

由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或2＜t＜3.

13.答案为：{x|x＜－1或x＞1}.

解析：设F(x)=f(x)－x，∴F′(x)=f′(x)－，

∵f′(x)＜，∴F′(x)=f′(x)－＜0，即函数F(x)在R上单调递减.

∵f(x2)＜＋，∴f(x2)－＜f(1)－，

∴F(x2)＜F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，

∴x2＞1，即不等式的解集为{x|x＜－1或x＞1}.

14.解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)=ex－a.

当a≤0时，f′(x)＞0，

∴f(x)在R上为增函数；

当a＞0时，由f′(x)=0得x=lna，

则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0，

∴函数f(x)在(－∞，lna)上为减函数，

当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，

∴函数f(x)在(lna，＋∞)上为增函数.

(2)当a=1时，g(x)=(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x.

∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数，

∴g′(x)=xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，

即m≤在(2，＋∞)上恒成立.

令h(x)=，x∈(2，＋∞)，

则h′(x)==.

令L(x)=ex－x－2，L′(x)=ex－1＞0在(2，＋∞)上恒成立，

即L(x)=ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)＞L(2)=e2－4＞0，

∴h′(x)＞0在(2，＋∞)上成立，即h(x)=在(2，＋∞)上为增函数，

∴h(x)＞h(2)=，∴m≤.

∴实数m的取值范围是.

15.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)=，

当a＞0时，f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)；

当a＜0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)；

当a=0时，f(x)为常函数.

(2)由(1)及题意得f′(2)=－=1，即a=－2，

∴f(x)=－2lnx＋2x－3，f′(x)=.∴g(x)=x3＋x2－2x，

∴g′(x)=3x2＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，

即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点.

由于g′(0)=－2，∴

当g′(t)＜0时，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立，

由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，

即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；由g′(3)＞0，即m＞－.

∴－＜m＜－9.

即实数m的取值范围是.

16.解：(1)f(x)的定义域为R，且f′(x)=(ax＋a－1)ex.

①当a=0时，f′(x)=－ex＜0，

此时f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞).

②当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞－；

由f′(x)＜0，得x＜－.

此时f(x)的单调递减区间为，

单调递增区间为.

③当a＜0时，由f′(x)＞0，得x＜－；

由f′(x)＜0，得x＞－.

此时f(x)的单调递减区间为，

单调递增区间为.

(2)证明：当m＞n＞0时，要证men＋n＜nem＋m，

只要证m(en－1)＜n(em－1)，即证＞.(*)

设g(x)=，x＞0，则g′(x)=，x＞0.

设h(x)=(x－1)ex＋1，由(1)知h(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以当x＞0时，h(x)＞h(0)=0，于是g′(x)＞0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当m＞n＞0时，(*)式成立，

故当m＞n＞0时，men＋n＜nem＋m.