2021年高考数学一轮精选练习：13《变化率与导数、导数的计算》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

13《变化率与导数、导数的计算》

一         、选择题

1.设函数y=xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处的切线斜率为g(t)，则函数y=g(t)图象的一部分可以是(　 　)

2.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　 　)

A.1秒末     B.1秒末和2秒末     C.4秒末     D.2秒末和4秒末

3.函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)=x2＋3xf′(2)－lnx，则f′(2)的值为(　　)

A.         B.－          C.          D.－

4.已知e为自然对数的底数，曲线y=aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1=0平行，则实数a=(　 　)

A.        B.        C.        D.

5.设函数f(x)=x3＋ax2，若曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y=0，则点P的坐标为(　 　)

A.(0,0)    B.(1，－1)     C.(－1,1)     D.(1，－1)或(－1,1)

6.设函数f(x)=x＋＋b，若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab=(　 　)

A.1          B.0       C.－1         D.－2

7.已知函数f(x)=e2x－2ex＋ax－1，曲线y=f(x)上存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为(　 　)

A.(3，＋∞)       B.       C.        D.(0,3)

8.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　 　)

A.y=sinx         B.y=lnx        C.y=ex         D.y=x3

9.已知曲线C在动点P(a，a2＋2a)与动点Q(b，b2＋2b)(a＜b＜0)处的切线互相垂直，则b－a的最小值为(　 　)

A.1         B.2            C.         D.－

10.若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=(a＞0)存在公共切线，则a的取值范围为(　　)

A.(0,1)        B.      C.         D.

二         、填空题

11.函数f(x)=xex的图象在点P(1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为          .

12.若点P是曲线y=x2－lnx上任意一点，则点P到直线y=x－2距离的最小值为       .

13.已知曲线y=，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为           .

三         、解答题

14.已知函数f(x)=x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.

15.设函数f(x)=ax－，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12=0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

16.已知函数f(x)=x2－lnx.

(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)在函数f(x)=x2－lnx的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[0.5,1]上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.

答案解析

1.答案为：A；

解析：由y=xsinx＋cosx可得y′=sinx＋xcosx－sinx=xcosx，则g(t)=tcost，

g(t)是奇函数，排除选项B，D；当x∈时，y=g(t)＞0，排除选项C，故选A.

2.答案为：D；

解析：s′(t)=t2－6t＋8，由导数的定义知v=s′(t)，

令s′(t)=0，得t=2或4，即2秒末和4秒末的速度为零.

3.答案为：B；

解析：∵f(x)=x2＋3xf′(2)－lnx，∴f′(x)=2x＋3f′(2)－，

令x=2，得f′(2)=4＋3f′(2)－，解得f′(2)=－，故选B.

4.答案为：B；

解析：∵y′=aex＋1，∴切线的斜率为y′|x=1=ae＋1，

又切线与直线2ex－y－1=0平行，∴ae＋1=2e，解得a=.

5.答案为：D；

解析：∵f(x)=x3＋ax2，∴f′(x)=3x2＋2ax，

∵曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y=0，∴3x＋2ax0=－1，

∵x0＋x＋ax=0，解得x0=±1，∴当x0=1时，f(x0)=－1，

当x0=－1时，f(x0)=1.故选D.

6.答案为：D；

解析：由题意可得，f(a)=a＋＋b，f′(x)=1－，所以f′(a)=1－，

故切线方程是y－a－－b=(x－a)，将(0,0)代入得－a－－b=(－a)，

故b=－，故ab=－2，故选D.

7.答案为：B；

解析：f(x)=e2x－2ex＋ax－1的导函数为f′(x)=2e2x－2ex＋a，

由题意可得2e2x－2ex＋a=3的解有两个，即有2=，

即为ex=＋或ex=－，即有7－2a＞0且7－2a＜1，解得3＜a＜3.5.

8.答案为：A；

解析：设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，

则由题意知只需函数y=f(x)满足f′(x1)·f′(x2)=－1即可.

y=f(x)=sinx的导函数为f′(x)=cosx，则f′(0)·f′(π)=－1，

故函数y=sinx具有T性质；y=f(x)=lnx的导函数为f′(x)=，

则f′(x1)·f′(x2)=＞0，故函数y=lnx不具有T性质；

y=f(x)=ex的导函数为f′(x)=ex，则f′(x1)·f′(x2)=ex1＋x2＞0，

故函数y=ex不具有T性质；y=f(x)=x3的导函数为f′(x)=3x2，

则f′(x1)·f′(x2)=9xx≥0，故函数y=x3不具有T性质.故选A.

9.答案为：A；

解析：由题意可得曲线y=x2＋2x上存在两点处的切线互相垂直，

由y=x2＋2x的导数为y′=2x＋2，可得(2a＋2)(2b＋2)=－1，

由a＋1＜b＋1，可得a＋1＜0，且b=－1，

b－a=＋(－a－1)≥2·=2×=1，

当且仅当=－a－1，即a=－，b=－时等号成立，所以b－a的最小值为1.

10.答案为：D；

解析：曲线y=x2在点(m，m2)的切线斜率为2m，曲线y=(a＞0)在点的切线斜率为en，如果两条曲线存在公共切线，那么2m=en.又由直线的斜率公式得到2m=，

则有m=2n－2，则由题意知4n－4=en有解，即y=4x－4，y=ex的图象有交点.

若直线y=4x－4与曲线y=ex相切，设切点为(s，t)，则es=4，

且t=4s－4=es，可得切点为(2,4)，此时=，故要使满足题意，需≤，

则a≥，故a的取值范围是a≥.故选D.

11.答案为：；

解析：f′(x)=ex＋xex=ex(x＋1)，∴切线斜率k=f′(1)=2e，

∴曲线y=f(x)在(1，e)处的切线方程为y－e=2e(x－1)，即y=2ex－e.

∵y=2ex－e与坐标轴交于点(0，－e)，(0.5,0)，

∴y=2ex－e与坐标轴围成的三角形面积S=×e×=.

12.答案为：;

解析：由题意知y=x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，当点P是曲线的切线中与直线y=x－2平行的直线的切点时，点P到直线y=x－2的距离最小，如图所示.

故令y′=2x－=1，解得x=1，故点P的坐标为(1,1).

故点P到直线y=x－2的最小值dmin==.

13.答案为：x＋4y－2=0；

解析：y′==，

因为ex＞0，所以ex＋≥2=2(当且仅当ex=，即x=0时取等号)，

则ex＋＋2≥4，故y′=≥－(当x=0时取等号).

当x=0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0,0.5)，

切线的方程为y－=－(x－0)，即x＋4y－2=0.

14.解：f′(x)=3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).

(1)由题意，得

解得b=0，a=－3或a=1.

(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)=3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)=0有两个不相等的实数根，

所以Δ=4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，

即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.

所以a的取值范围为∪.

15.解：(1)方程7x－4y－12=0可化为y=x－3.

当x=2时，y=.又f′(x)=a＋，

于是解得故f(x)=x－.

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，

由y′=1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0=(x－x0)，

即y－=(x－x0).

令x=0，得y=－，从而得切线与直线x=0的交点坐标为.

令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为S=|2x0|=6.

故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为定值，

且此定值为6.

16.解：(1)由题意可得f(1)=1，且f′(x)=2x－，f′(1)=2－1=1，

则所求切线方程为y－1=1×(x－1)，即y=x.

(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，

则x1，x2∈[0.5,1]，不妨设x1＜x2，

结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得=－1，

又函数f′(x)=2x－在区间[0.5,1]上单调递增，函数的值域为[－1,1]，

故－1≤2x1－＜2x2－≤1，据此有解得x1=，

x2=1，

故存在两点，(1,1)满足题意.