2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析3.2　利用导数研究函数的单调性 学案

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点·精准研析考点一　不含参数的函数的单调性 1.函数y=xln x的单调递减区间是 (　　)A.(-∞,e-1)    B.(e-1,+∞)C.(e,+∞)    D.(0,e-1)2.函数f(x)=的单调递增区间为________. 3.已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增区间是________. 【解析】1.选D.函数y=xln x的定义域为(0,+∞), 因为y=xln x,所以y′=ln x+1,令y′<0得0<x<e-1,所以减区间为(0,e-1).2.因为f(x)= ,所以f′(x)=,由f′(x)>0,解得x<-1-或x>-1+.所以f(x)的递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞).答案:(-∞,-1-)和(-1+,+∞)3.f ′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.令f ′(x)=xcos x>0, 则其在区间(-π,π)上的解集为和, 即f(x)的单调递增区间为和.答案:和题2中,若将“f(x)=”改为“f(x)=x2ex”,则函数f(x)的单调递减区间是________. 【解析】因为f(x)=x2ex,所以f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex.由f′(x)<0,解得-2<x<0,所以函数f(x)=x2ex的单调递减区间是(-2,0).答案:(-2,0)　确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求f ′(x).(3)解不等式f ′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f ′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.【秒杀绝招】　　排除法解T1,根据函数的定义域排除A,已知当x∈(1,+∞)时,y=x和y=ln x都是增函数且为正数,所以y=xln x也是增函数,从而排除B,C.考点二　含参数的函数的单调性 【典例】(2019·全国卷Ⅲ改编)已知函数f(x)=ax-ln x+(a∈R),讨论f(x)的单调性.【解题导思】序号题目拆解 (1)求f′(x),解方程f′(x)=0解方程f′(x)=0时,发现需分a≤0和a>0两种情况讨论(2)由f′(x)的符号确定f(x)的单调性用导数为零的实数分割定义域,逐个区间分析导数的符号,确定单调性【解析】f′(x)=a--=(x>0).设g(x)=ax2-x-1(x>0),①当a≤0时,g(x)<0,f′(x)<0;②当a>0时,由g(x)=0得x=或x=,记x0=,则g(x)=ax2-x-1=a(x-x0)(x>0),因为x->0,所以当x∈(0,x0)时,g(x)<0,f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,综上知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.　解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.　已知函数f(x)=-ln x.讨论f(x)的单调性.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--=-,(1)当a≥0时,f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减;(2)当a<0时,由f′(x)>0,可得0<x<-a,由f′(x)<0,可得x>-a,则f(x)在(0,-a)上单调递增,在(-a,+∞)上单调递减.考点三　利用导数解决函数单调性的应用问题  命题精解读考什么:(1)考查函数图象的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图象及函数的单调性的应用等问题.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的范围.学霸好方法由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f ′ (x)≥0(或f ′ (x)≤0)恒成立,从而构建不等式, 求出参数的取值范围,要注意“=”是否可以取到.(2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集,即f ′(x)max>0(或f ′(x)min<0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x)在区间D 上的单调性,区间D上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围. 函数图象的识别【典例】函数f(x)=x2+xsin x的图象大致为 (　　)【解析】选A.因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,B不符合题意, f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,则g′(x)=1+cos x≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时, f(x)=xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A符合题意.辨别函数的图象主要从哪几个角度分析?提示:从函数奇偶性、单调性、最值及函数图象所过的特殊点等角度分析.比较大小或解不等式【典例】(2019·兰州模拟)函数f(x)在定义域R内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f′(x)>0.若a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系是 世纪金榜导学号(　　)A.c>b>a   B.c>a>bC.a>b>c   D.b>a>c【解析】选C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图象关于直线x=2对称,根据题意知,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)<f<f(0),即c<b<a.单调性比较大小或解不等式,实际上是自变量的大小与相应函数值的大小关系的互推,比较大小时对自变量的取值范围有什么要求?提示:必须在同一个单调区间内.根据函数的单调性求参数【典例】若函数f(x)=ex(2x2-x+k)在R上是增函数,则实数k的取值范围是________.  【解析】由题意,求得函数的导数f′(x)=ex(2x2-x+k+4x-1)=ex(2x2+3x+k-1),因为函数f(x)在R上是增函数,又由ex>0,所以Δ=9-8(k-1)≤0,解得k≥,即实数k的取值范围是.答案:函数f(x)在某区间上是增函数,推出f′(x)>0还是f′(x)≥0?提示:推出f′(x)≥0.1.设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)可能为              (　　)【解析】选D.由题意得,当x<0时,函数y=f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x>0时,函数y=f(x)先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.结合所给选项可得D符合题意.2.已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对任意实数都有f(x)-f′(x)>0,设F(x)=,则不等式F(x)<的解集为 (　　)A.(-∞,1)   B.(1,+∞)C.(1,e)    D.(e,+∞)【解析】选B.根据题意,F(x)=,其导数F′(x)==,又由f(x)-f′(x)>0,则有F′(x) <0,即函数F(x)在R上为减函数,又由f(1)=,则F(1)==,不等式F(x)<等价于F(x)<F(1),则有x>1,则不等式的解集为(1,+∞).3.若f(x)=2x3-3x2-12x+3在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数m的取值范围是________. 【解析】因为f(x)=2x3-3x2-12x+3,所以f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f′(x)>0,得x<-1或x>2;令f′(x)<0,得-1<x<2, f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.若f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,则m+4≤-1或或m≥2.所以m≤-5或m≥2,则m的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞).答案:(-∞,-5]∪[2,+∞)　(2020·内江模拟)若函数f(x)=ax2+xln x-x存在单调递增区间,则a的取值范围是              (　　)A.   B.C.(-1,+∞)   D.【解析】选B.因为f(x)=ax2+xln x-x存在单调递增区间,则f′(x)=ax+ln x≥0在(0,+∞)上有解,即a≥-在(0,+∞)上有解,令g(x)=-,x>0,则g′(x)=,当x>e时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当0<x<e时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又x→0,g(x)→+∞,x→+∞,g(x)<0且g(x)→0,因为g(e)=-,所以a≥-,当a=-时,f′(x)=-x+ln x,令h(x)=-x+ln x,则h′(x)=-,当x>e时,h′(x)<0,函数单调递减,当0<x<e时,h′(x)>0,函数单调递增,h(x)≤h(e)=0,即f′(x)≤0恒成立,此时不满足题意,所以a的取值范围是.关闭Word文档返回原板块