2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第5章3第3讲　平面向量的数量积及应用举例

第3讲　平面向量的数量积及应用举例

1．平面向量的数量积

定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积
2.向量的夹角

定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°
若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.

结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0)，又因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
所以a＝，即AB的长为.
【答案】　
角度三　两向量垂直问题
已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【解析】　因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】　

(1)求平面向量的夹角的方法
①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝；
(2)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．　
[通关练习]
1．(2018·河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－b|＝3|a|，则a与b的夹角为________．
解析：由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)得4a2＝b2，由|a－b|＝3|a|得a2－2a·b＋2b2＝9a2，则a·b＝0，即a⊥b，所以a与b的夹角为90°.
答案：90°
2．(2017·高考山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________
解析：因为＝，
故＝，解得λ＝.
答案：
3．(2018·东北四市高考模拟)已知向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为________．
解析：由＝(3，1)，＝(－1，3)得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m且0