2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.8.2　圆锥曲线中求值与证明问题

温馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析

考点一　求值问题  

1.(2020·西安模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B点,它们的离心率分别为e1,e2,则+=              (　　)

A.    B.2 C.    D.3

2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准线于点C,且|AB|=|AF|,△AFC的面积为2+2,则p的值为              (　　)

A.　  B.1  C.2  D.4

3.(2019·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.              世纪金榜导学号

(1)求椭圆的方程.

(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.

若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.

【解析】1.选B.如图,由题意,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴为a2,

根据椭圆和双曲线定义:

|AB|+|BC|=2a1,

|BC|-|AB|=2a2,

可得|BC|=a1+a2,

|AB|=a1-a2,设AC=2c,

在直角三角形ABC中,由勾股定理可得,

4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2 ,即+ = 2c2,

即+=2.

2.选C.过点A作AH垂直于准线,垂足为H,作CG垂直于AB,垂足为G,根据抛物线的定义|AH|=|AF|,CE∥AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,

由S△AFC=S△ABC-S△AFB,S△ABC=|AB|·|CG|

=|AD|·|CG|,S△AFB=|AB|·|DF|

=|AD|·|DF|,

得S△AFC=|AD|·|CG|-|AD|·|DF|

=|AD|(|CG|-|DF|),

=|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|·|EF|,

又|DE|=|AF|=|DF|,则|EF|=(-1)|DF|,

|AD|=2|DF|==|EF|,可得S△AFC=|EF|2,又因为S△AFC=2+2,所以|EF|=2,因为EF正好是焦点到准线的距离,即p=2.

3.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.

所以,椭圆的方程为+=1.

(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).

设直线PB的斜率为k(k≠0),

又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,

与椭圆方程联立

整理得(4+5k2)x2+20kx=0,

可得xP=-,

代入y=kx+2得yP=,

进而直线OP的斜率=.

在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.

由题意得N(0,-1),

所以直线MN的斜率为-.

由OP⊥MN,得·=-1,

化简得k2=,从而k=±.

所以直线PB的斜率为或-.

1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),

P2(x2,y2),则所得弦长:

|P1P2|=|x1-x2|=

==|y1-y2|.

(2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接求解(利用两点间距离公式).

2.平面图形面积的求解,首先根据题意确定平面图形的形状,然后确定其面积的表达式,求出相关的度量——弦长、距离等,最后代入公式求解即可.

3.条件求值,主要是将已知条件坐标化,列出对应的方程,通过解方程(组)求值.

【秒杀绝招】　题1中可以利用赋值法简化求解过程,减少计算量.不妨设直角三角形ABC三边长度分别为3,4,5.则椭圆与双曲线的焦距2c=5,则在椭圆中,2a1=3+4=7,故e1=;在双曲线中,2a2=|3-4|=1,故e1=5.所以+=+=2.

考点二　证明问题 

证明数量关系

【典例】(2019·北京模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),离心率为.A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上异于A的两个动点,直线AP,AQ与直线l:x=4分别交于M,N两点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若△PAF与△PMF的面积之比为,求M的坐标.

(3)设直线l与x轴交于点R,若P,F,Q三点共线,求证:∠MFR=∠FNR.

【解题导思】

【解析】(1)由题意得

解得

因为a2-b2=c2,所以b2=3.

所以椭圆C的方程为

+=1.

(2)因为△PAF与△PMF的面积之比为,

所以|AP|=|PM|.所以=.

设M(4,m)(m≠0),P(x0,y0),则(x0+2,y0)=(6,m),

解得x0=-1,y0=.

将其代入+=1,解得m=±9.

所以M的坐标为(4,9)或(4,-9).

 (3)设M(4,m),N(4,n),

P(x0,y0),由题知R(4,0),

若m=0,则P为椭圆C的右顶点,由P,F,Q三点共线知,Q为椭圆C的左顶点,不符合题意.

所以m≠0.同理n≠0.

直线AM的方程为y=(x+2).

由

消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0.

Δ=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立.

由-2x0=,解得x0=.

所以y0=(x0+2)=.

所以P.

①当PF⊥x轴时,

即|m|=3时,|n|=3,=1,

由椭圆的对称性可得|MR|=|FR|=|NR|=3.

又因为∠MRF=∠NRF=90°,

所以∠MFR=∠FNR=45°.

②当直线PQ与x轴不垂直时,|m|≠3,|n|≠3,

直线FP的斜率kFP==.

同理kFQ=.因为P,F,Q三点共线,

所以=.所以mn=-9.

在Rt△MRF和Rt△NRF中,

tan∠MFR==,tan∠FNR===,

所以tan∠MFR=tan∠FNR.

因为∠MFR,∠FNR均为锐角,

所以∠MFR=∠FNR.

综上,若P,F,Q三点共线,则∠MFR=∠FNR.

证明位置关系

【典例】(2019·大连模拟)设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若椭圆E的离心率为,△ABF2的周长为16.              世纪金榜导学号

(1)求椭圆E的方程.

(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C,D,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:O,M,N三点共线.

【解题导思】

【解析】(1)由题意知,4a=16,a=4.又因为e=,所以c=2,b==2,

所以椭圆E的方程为+=1.

(2)当直线AB、CD的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点M,N在x轴上,O,M,N三点共线;

当直线AB,CD的斜率存在时,设其斜率为k(k≠0),

且设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).

则 + = 1, + = 1,

相减得 =- ,

所以·=-,即·=-,

即k·kOM=-,所以kO M=-;

同理可得kO N=-,所以kO M=kO N,

所以O,M,N三点共线.

1.过椭圆W:+y2=1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A,B两点,其中A(0,1),另一条过F1的直线l2交椭圆于C,D两点(不与A,B重合),且D点在x轴下方且不与点(0,-1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD,BC于E,G.

(1)求B点坐标和直线l1的方程.

(2)求证:|EF1|=|F1G|.

【解析】(1)由题意可得直线l1的方程为y=x+1.与椭圆方程联立,得

可求得B.

(2)当l2与x轴垂直时,C,D两点与G,E两点重合,由椭圆的对称性,|EF1|=|F1G|.

当l2不与x轴垂直时,设C(x1,y1),D(x2,y2),l2的方程为y=k(x+1)(k≠1).

由

消去y,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.

则x1+x2=,x1x2=.

由已知,x2≠0,

则直线AD的方程为y-1=x,令x=-1,得点E的纵坐标yE=.

把y2=k(x2+1)代入得yE=.

由已知,x1≠-,

则直线BC的方程为y+=,

令x=-1,得点G的纵坐标yG=.

把y1=k(x1+1)代入得yG=.

yE+yG=+

=

=.

把x1+x2=,x1x2=代入到

2x1x2+3(x1+x2)+4中,则

2x1x2+3(x1+x2)+4=2×+3×+4=0.

即yE+yG=0,即|EF1|=|F1G|.

2.(2020·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,且椭圆C过点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若点A,B分别为椭圆C的左右顶点,点P是椭圆C上不同于A,B的动点,直线AP与直线x=a交于点Q,证明:以线段BQ为直径的圆与直线PF相切.

【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),依题意,,解得a=2,b=,c=1,故椭圆C的标准方程为+=1.

(2)方法一:①设点P的坐标为(x0,y0),x0≠±2,

因为P在椭圆上,所以+=1,所以=3-,

由A,B两点的坐标为(-2,0),(2,0),所以直线AP的方程为:y=(x+2),

当x=2时y=,则点Q的坐标为,

设线段BQ的中点为T,则点T的坐标为,有|BT|=,

当x0≠1时,直线PF的方程为:y=(x-1),整理为y0x-(x0-1)y-y0=0,

由+(x0-1)2=3-+-2x0+1=(-8x0+16)=(x0-4)2,

则点T到直线PF的距离为d====,

由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切.

②当x0=1时,则点P的坐标为或,直线PF的方程为x=1,直线AP的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0.将x=2代入直线AP的方程得点Q的坐标为(2,2)或(2,-2),线段BQ中点T的坐标为(2,1)或(2,-1),所以|BT|=1.又点T到直线PF的距离d=1,

由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切.

方法二:由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(1,0).

依题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y=k(x+2),

设点P的坐标为(x0,y0),由,

消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.

所以-2+x0=,所以x0=,

所以y0=k(x0+2)=,

所以P的坐标为.

因为直线AP与x=2交点为Q,

所以Q的坐标为(2,4k),B(2,0),

所以以BQ为直径的圆的圆心坐标为(2,2k),半径为|2k|.

①当直线PF的斜率存在,即≠1,k2≠时直线PF的方程为y=(x-1),即y=(x-1),

整理得4kx-(1-4k2)y-4k=0,

设圆心(2,2k)到直线PF的距离为d,则d==

==|2k|,

所以以BQ为直径的圆与直线PF相切.

②当直线PF的斜率不存在,即k2=时,直线PF的方程为x=1.圆心坐标为(2,±1),圆的半径为1,此时以BQ为直径的圆与直线PF相切.

关闭Word文档返回原板块