2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.8.3　圆锥曲线的范围问题

温馨提示：    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点·精准研析   考点一　几何法求范围       1.已知直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是              (　　)A.[2,+∞)   B.[2,+∞)C.[2,4]    D.[2,4]2.(2020·绵阳模拟)设点P是抛物线C:y2=4x上的动点,Q是C的准线上的动点,直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直,则点P到l的距离的最小值的取值范围是              (　　)A.(0,1)   B.(0,1]   C.[0,1]   D.(0,2]3.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________.              世纪金榜导学号 【解析】1.选D.椭圆+y2=1的焦点为:F1(-,0),F2(,0),由l1与l2方程可知l1⊥l2,直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点(-1,0),(1,0),所以它们的交点Q满足:x2+y2=1(x≠-1),当Q与(1,0)重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为|F1F2|=2,当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是[2,4].2.选B.抛物线C的准线方程是x=-1,若点Q的坐标为(-1,0),此时直线l的方程为x=-1,显然点P到直线l的距离的最小值是1,若点Q的坐标为(-1,t),其中t≠0,则直线OQ的斜率为kOQ==-t,直线l的斜率为kl==,直线l的方程为y-t=(x+1),即x-ty+t2+1=0,设与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x-ty+m=0,代入抛物线方程得y2-4ty+4m=0,所以Δ=16t2-16m=0,解得m=t2,所以与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x-ty+t2=0,所以点P到直线l的距离的最小值为直线x-ty+t2+1=0与直线x-ty+t2=0的距离,即d==,因为t≠0,所以0<d<1.综合两种情况可知点P到直线l的距离的最小值的取值范围是(0,1].3.由过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得<2.所以e==<=,因为e>1,所以1<e<,所以此双曲线离心率的取值范围为(1,).答案:(1,)1.当题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决.2.利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题,然后利用平面几何中的定理、性质等进行求解.考点二　代数法求范围问题 命题精解读考什么:(1)范围问题主要有:①涉及距离、面积的范围以及与之相关的一些范围问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的范围;③求目标代数式的取值范围.(2)考查数学建模、数学运算、逻辑推理以及函数与方程、转化与化归的数学思想等.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查参数取值范围或目标代数式的取值范围问题.新趋势:范围问题与不等式、函数值域等问题相结合.学霸好方法1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.2.交汇问题与不等式、函数问题交汇时,要注意参数取值范围的限制对解不等式、求函数值域的影响.构造不等式求范围【典例】(2019·宜昌模拟)在直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为+=1(a>b>0),左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且△RF1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=-.(1)求a,b的值.(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1⊥x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且∠MQF1=∠NQF1,设直线MN与y轴交于点D(0,d),求d的取值范围.【解题导思】  序号题目拆解(1)求参数a,b点差法转化kPAkPB=-,结合△RF1F2的面积列出方程组求解(2)①设直线QM的方程将两角相等转化为两直线QM,QN斜率之间的关系②求直线MN的斜率将直线方程与椭圆方程联立,分别求出M、N点的横坐标,利用两点坐标表示出直线MN的斜率.③求d所满足的不等式将直线MN的方程与椭圆方程联立,由位置关系列出不等关系④解不等式求范围解所得不等式即可求得d的取值范围【解析】(1)设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1),进一步得,+=1,+=1,两个等式相减得,+=0,所以·=-,所以kPA·kPB=-,因为kPA·kPB=-,所以-=-,即=,设b=t,a=2t(t>0),因为a2=b2+c2,所以c=t,由△RF1F2的面积为得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.(2)设直线QM的斜率为k,因为∠MQF1=∠NQF1,所以QM,QN关于直线QF1对称,所以直线QN的斜率为-k,算得F1(-1,0),Q,所以直线QM的方程是y-=k(x+1),设M(x3,y3),N(x4,y4)由 消去y得,(3+4k2)x2+(12+8k)kx+(4k2+12k-3)=0,所以-1·x3=,所以x3=,将上式中的k换成-k得,x4=,所以kMN== ==-,所以直线MN的方程是y=-x+d,代入椭圆方程+=1得,x2-dx+d2-3=0,所以Δ=(-d)2-4(d2-3)>0,所以-2<d<2,又因为MN在Q点下方,所以>-×(-1)+d,所以-2<d<1.构造函数法求范围【典例】(2019·日照模拟)已知点E,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点和左焦点,若EF与圆x2+y2=相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.世纪金榜导学号(1)求椭圆C的标准方程.(2)直线l:y=kx+m与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第二象限,过坐标原点O且与l垂直的直线l'与圆x2+y2=8相交于A,B两点,求△PAB面积的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b根据已知分别求出a,b的值.(2)①建立k,m的关系式直线方程与椭圆方程联立,利用方程只有一解即可建立两者的关系式②求P到直线l'的距离求P点坐标,代入距离公式求解③表示△PAB面积利用三角形面积公式建立目标函数④求取值范围根据目标函数的结构特征,利用基本不等式求解最值,从而确定其取值范围【解析】(1) OT2=ET·TF=a·a=,a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)由得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2-6=0,因为直线l:y=kx+m与椭圆C相切于点P, 所以Δ=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-6)=12(6k2+2-m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=,y=,即点P的坐标为,因为点P在第二象限,所以k>0,m>0,所以m=,所以点P的坐标为,设直线l'与l垂直交于点Q,则|PQ|是点P到直线l'的距离,设直线l'的方程为y=-x,则|PQ|===,所以S△PAB=×4×|PQ|=≤==4-4,当且仅当3k2=,即k2=时,取得最大值4-4,所以△PAB面积的取值范围为(0,4-4].1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且C与y轴交于A(0,-1),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可得,b=1,c=,所以a=2, 椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)方法一:设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,-1),B(0,1), 所以kPA=,直线PA的方程为y=x-1,同理得直线PB的方程为y=x+1,直线PA与直线x=3的交点为M,直线PB与直线x=3的交点为N,线段MN的中点,所以圆的方程为(x-3)2+=.令y=0,则(x-3)2+=, 因为+=1,所以(x-3)2=-,因为这个圆与x轴相交,所以该方程有两个不同的实数解,则->0,又0<x0≤2,解得x0∈.方法二:由题意设直线AP的方程为y=k1x-1(k1>0),与椭圆x2+4y2=4联立得:(1+4)x2-8k1x=0,xP=,同理设直线BP的方程为y=k2x+1,可得xP=,由=,可得4k1k2=-1,所以M(3,3k1-1),N(3,3k2+1),MN的中点为,所以以MN为直径的圆为(x-3)2+=.当y=0时,(x-3)2+=,所以(x-3)2=,因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,所以>0,代入4k1k2=-1得:<0,所以<k1<, 所以xP==在单调递增,在单调递减,所以xP∈.2.(2019·焦作模拟)已知椭圆C:+=1与直线l1交于A,B两点,l1不与x轴垂直,圆M:x2+y2-6y+8=0.(1)若点P在椭圆C上,点Q在圆M上,求|PQ|的最大值.(2)若过线段AB的中点E且垂直于AB的直线l2过点,求直线l1的斜率的取值范围.【解析】(1)依题意,圆M:x2+y2-6y+8=0,即圆M:x2+(y-3)2=1,圆心为M(0,3).所以|PQ|≤|PM|+1.设P(x,y),则|PM|2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9.(*)而+=1,所以x2=4-.代入(*)中,可得|PM|2=4-+y2-6y+9=--6y+13,y∈[-,].所以|PM=12+6,即|PM|max=3+,所以|PQ|max=4+.(2)依题意,设直线l1:y=kx+m.由 消去y整理得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0.因为直线与椭圆交于不同的两点,所以Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,整理得m2<4k2+3.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.设点E的坐标为(x0,y0),则x0=-,所以y0=kx0+m=-+m=,所以点E的坐标为.所以直线l2的斜率为k'==.又直线l1和直线l2垂直,则·k=-1,所以m=-.将m=-代入①式,可得<4k2+3.解得k>或k<-.所以直线l1的斜率的取值范围为∪.1.(2020·南昌模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=,求原点O到直线l的距离的取值范围.【解析】(1)由题知e==,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,依题意,Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化简得m2<4k2+1,①x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOM·kON=,则=,即4y1y2=5x1x2,所以(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,所以(4k2-5)·+4km·+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=②,由①②得0≤m2<,<k2≤.因为原点O到直线l的距离d=,所以d2===-1+,又<k2≤,所以0≤d2<,所以原点O到直线l的距离的取值范围是.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,且椭圆经过点(0,1).(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l1: x+2y-2=0与圆D:x2+y2-6x-4y+m=0相切.(ⅰ)求圆D的标准方程.(ⅱ)若直线l2过定点(3,0),与椭圆C交于不同的两点E,F,与圆D交于不同的两点M,N,求|EF|·|MN|的取值范围.【解析】(1) 因为椭圆经过点(0,1),所以=1,解得b2=1,因为e=,所以=,所以3a2=4c2=4(a2-1),解得a2=4.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)(ⅰ)圆D的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13-m,圆心为(3,2),因为直线l1: x+2y-2=0与圆D相切,所以圆D的半径r==, 所以圆D的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=5.(ⅱ)由题可得直线l2的斜率存在, 设l2方程为y=k(x-3),由消去y整理得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,因为直线l2与椭圆C交于不同的两点E,F, 所以Δ=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)=16(1-5k2)>0,解得0≤k2<.设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以|EF|===4, 又圆D的圆心(3,2)到直线l2:kx-y-3k=0的距离d==,所以圆D截直线l2所得弦长|MN|=2=2, 设t=1+4k2∈,则k2=, 所以|EF|·|MN|=8=2,因为t∈,所以-9+50-25∈(0,16],所以|EF|·|MN|的取值范围为(0,8].关闭Word文档返回原板块