2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第1章第3节　全称量词与存在量词

第三节　全称量词与存在量词[最新考纲]　1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词．通常用符号“∀x”表示“任意x”．(2)存在量词：“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．通常用符号“∃x”表示“存在x”．2．全称命题和存在性命题命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，都有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)3.全称命题和存在性命题真假的判断(1)全称命题为真，严格证明；全称命题为假，列举反例；(2)存在性命题为真，列举特例；存在性命题为假，严格证明．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，p(x)的真假性相反． (　　)(2) 命题“末位数字都是0的整数能被5整除”的否定为“末位数字都不是0的整数不能被5整除”．              (　　)(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”． (　　)(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题． (　　)[答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)√二、教材改编1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0＜0C．∀x∈R，x2＋x≤0   D．∀x∈R，x2＋x＜0B　[由全称命题的否定是存在性命题知选项B正确．故选B.]2．下列命题中的假命题是(　　)A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0   D．∀x∈R,2x＞0C　[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.]3．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．1　[因为0≤x≤，所以0≤tan x≤1，又因为∀x∈，tan x≤m，故m≥1，即m的最小值为1.]4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．存在一个实数的平方不是正数　[全称命题的否定是存在性命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]考点1　全称命题、存在性命题(1)全称命题与存在性命题的否定①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定．(2)全称命题与存在性命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真存在性命题真存在一个对象使命题真否定为假 　全称命题、存在性命题的否定(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)A．∃x＜0，≤0　 B．∃x＞0,0≤x≤1C．∀x＞0，≤0   D．∀x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则p为(　　)A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B.(2)由存在性命题的否定可得p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]　全称(存在性)命题的否定方法：∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)，简记：改量词，否结论．　全称命题、存在性命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R，x2≥0B．∀x∈R,2x－1＞0C．∃x0∈R，lg x0＜1D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2(2)下列四个命题：其中的真命题是(　　)A．p1，p3　　B．p1，p4　　C．p2，p3　　D．p2，p4(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log＞log成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在上的图象可以判断p4是真命题．]因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是存在性命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃x0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0D　[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为存在性命题，故选D.]2．已知命题p：∃x0∈，使得cos x0≤x0，则綈p为________，是________命题(填“真”或“假”)．∀x∈，都有cos x＞x　假　[綈p：∀x∈，都有cos x＞x，此命题是假命题．]考点2　由命题的真假确定参数的取值范围　根据命题真假求参数的方法步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[母题探究]1．(变问法)在本例条件下，若p∧q为真，求实数m的取值范围．[解]　依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；当q是真命题时，有－2＜m＜2，由可得－2＜m＜0.所以实数m的取值范围为(－2,0)．2．(变问法)在本例条件下，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．[解]　若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假．当p真q假时所以m≤－2；当p假q真时所以0≤m＜2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．　根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，存在性命题可转化为能成立问题．(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．　1.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.A　[当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥，故选A.]2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．(－∞，－12)∪(－4,4)　[命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]