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    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第9节 函数与方程

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    第九节 函数与方程

    [最新考纲] 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.

    1函数的零点

    (1)函数零点的定义

    对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点.

    (2)三个等价关系

    方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x有交点函数yf(x)零点

    (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

    如果函数yf(x)在区间[ab]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(af(b)0,那么,函数yf(x)在区间(ab)内有零点,即存在c(ab),使得f(c)0,这个c也就是方程f(x)0的根.

    2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系

     

    Δ0

    Δ0

    Δ0

    二次函数yax2bxc(a0)的图象

    x轴的交点

    (x1,0)(x2,0)

    (x1,0)

    无交点

    零点个数

    2

    1

    0

    有关函数零点的三个结论

    (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点

    (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

    (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (  )

    (2)函数yf(x)在区间(ab)内有零点(函数图象连续不断),则f(af(b)0.  (  )

    (3)若函数f(x)(ab)上单调且f(af(b)0,则函数f(x)[ab]上有且只有一个零点.                            (  )

    (4)二次函数yax2bxcb24ac0时没有零点. (  )

    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)

    二、教材改编

    1.已知函数yf(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:

    x

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y

    124.4

    33

    74

    24.5

    36.7

    123.6

    则函数yf(x)在区间[1,6]上的零点至少有(  )

    A2个      B3

    C4   D5

    B [f(2)·f(3)0f(3)·f(4)0f(4)·f(5)0,故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点.]

    2.函数f(x)ln x2x6的零点所在的区间是(  )

    A(0,1)   B(1,2)

    C(2,3)   D(3,4)

    C [由题意得f(1)ln 126=-40f(2)ln 246ln 220

    f(3)ln 366ln 30

    f(4)ln 486ln 420

    f(x)的零点所在的区间为(2,3)]

    3.函数f(x)ex3x的零点个数是________

    1 [由已知得f(x)ex30,所以f(x)R上单调递增,又f(1)30f(0)10,因此函数f(x)有且只有一个零点.]

    4.函数f(x)x的零点个数为________

    1 [作函数y1xy2的图象如图所示.

    由图象知函数f(x)1个零点.]

    考点1 函数零点所在区间的判定

     判断函数零点所在区间的方法

    (1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;

    (2)零点存在性定理;

    (3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.

     1.函数f(x)ln x的零点所在的区间为(  )

    A(0,1)        B(1,2)

    C(2,3)   D(3,4)

    B [由题意知函数f(x)是增函数,因为f(1)0f(2)ln 2ln 2ln 0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选B.]

    2.若abc,则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间(  )

    A(ab)(bc)

    B(a)(ab)

    C(bc)(c,+)

    D(a)(c,+)

    A [abcf(a)(ab)(ac)0f(b)(bc)(ba)0f(c)(ca)(cb)0

    由函数零点存在性判定定理可知:在区间(ab)(bc)内分别存在一个零点;

    又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,

    因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(ab)(bc)内,故选A.]

    3.已知函数f(x)ln x2x6的零点在(kZ)内,那么k________.

    5 [f(x)20x(0,+)f(x)x(0,+)上单调递增,且fln 10f(3)ln 30f(x)的零点在内,则整数k5.]

     (1)f(af(b)0是连续函数yf(x)在闭区间[ab]上有零点的充分不必要条件.

    (2)若函数f(x)[ab]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(af(b)0函数f(x)在区间[ab]上只有一个零点.

    考点2 函数零点个数的判断

     求函数零点个数的基本解法

    (1)直接法,令f(x)0,在定义域范围内有多少个解则有多少个零点;

    (2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;

    (3)图象法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.

     (1)(2019·全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x[0,2π]的零点个数为(  )

    A2   B3

    C4   D5

    (2)函数f(x)的零点个数为(  )

    A0   B1

    C2   D3

    (3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)exx3,则f(x)的零点个数为(  )

    A1   B2

    C3   D4

    (1)B (2)D (3)C [(1)f(x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x·(1cos x)0sin x0cos x1xkπkZ,又x[0,2π]x0π,即零点有3个,故选B.

    (2)依题意,在考虑x0时可以画出函数yln xyx22x的图象(如图),可知两个函数的图象有两个交点,当x0时,函数f(x)2x1x轴只有一个交点,综上,函数f(x)3个零点.故选D.

    (3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)0,即x0是函数f(x)1个零点.

    x0时,令f(x)exx30,则ex=-x3,分别画出函数yexy=-x3的图象,如图所示,两函数图象有1个交点,所以函数f(x)1个零点.

    根据对称性知,当x0时,函数f(x)也有1个零点.综上所述,f(x)的零点个数为3.]

     (1)利用函数的零点存在性定理时,不仅要求函数的图象在区间[ab]上是连续不断的曲线,且f(af(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

    (2)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象.在画函数的图象时,常利用函数的性质,如周期性、对称性等,同时还要注意函数定义域的限制.

     1.函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为(  )

    A1   B2

    C3   D4

    B [f(x)2x|log0.5x|10

    可得|log0.5x|.

    g(x)|log0.5x|h(x).

    在同一坐标系下分别画出函数g(x)h(x)的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)2个零点.故选B.]

    2.已知函数f(x)f(0)=-2f(1)1,则函数g(x)f(x)x的零点个数为________

    3 [依题意得

    由此解得

    g(x)0f(x)x0

    该方程等价于 

      

    x2,解x=-1x=-2.因此,函数g(x)f(x)x的零点个数为3.]

    考点3 函数零点的应用

     根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

    (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.

    (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.

    (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.

     根据函数零点个数求参数

     已知函数f(x)|x23x|xR,若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围是________

    (0,1)(9,+) [y1f(x)|x23x|y2a|x1|,在同一直角坐标系中作出y1|x23x|y2a|x1|的图象如图所示.

    由图可知f(x)a|x1|04个互异的实数根等价于y1|x23x|y2a|x1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1

    所以 有两组不同解,

    消去yx2(3a)xa0有两个不等实根,

    所以Δ(3a)24a0,即a210a90

    解得a1a9.

    又由图象得a00a1a9.]

     由函数的零点个数求参数的值或范围的策略

    已知函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图形一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.

     根据函数有无零点求参数

     已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是________

    (0](1,+) [函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)xm的根,画出h(x)f(x)x的大致图象(图略)

    观察它与直线ym的交点,得知当m0m1时,有交点,即函数g(x)f(x)xm有零点.]

     函数有无零点问题函数图象与x轴有无公共点问题.

     根据零点的范围求参数

     若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是________

     [依题意,结合函数f(x)的图象分析可知m需满足

    解得m.]

     此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解.

     1.函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(  )

    A(1,3)   B(1,2)

    C(0,3)   D(0,2)

    C [因为f(x)(0,+)上是增函数,则由题意得f(1)·f(2)(0a)(3a)0,解得0a3,故选C.]

    2.已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是________

    (1,0) [关于x的方程f(x)k有三个不同的实根,等价于函数y1f(x)与函数y2k的图象有三个不同的交点,作出函数的图象如图所示,由图可知实数k的取值范围是(1,0)]

     

     

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