2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第二章　第8讲　函数与方程

第8讲　函数与方程一、知识梳理1．函数的零点函数零点的概念对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点函数零点的存在性定理函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点[注意]　函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个常用结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编1．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)A．(1，2)　　　　　　　 B．(2，3)C.和(3，4)  D．(4，＋∞)答案：B2．(必修1P88例1改编)f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A．0  B．1C．2  D．3答案：B3．(必修1P92A组T4改编)函数f(x)＝x－的零点个数为        ．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√二、易错纠偏(1)忽略限制条件致误；(2)错用零点存在性定理致误．1．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点个数为(　　)A．0  B．1C．2  D．3解析：选B.由x－2>0，得x>2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去)或x＝3.2．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是        ．解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)　　　　　　函数零点所在区间的判断(师生共研) (一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)A．(0，1)　　　　　　　  B．(1，2)C．(2，3)  D．(3，4)【解析】　法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.【答案】　B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象 　设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)A．[0，1]  B．[1，2]C．[－2，－1]  D．[－1，0]解析：选D.因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.　　　　　　函数零点个数的判断(师生共研) (一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)A．3  B．2C．1  D．0【解析】　法一(方程法)：由f(x)＝0，得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．【答案】　B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　)A．0  B．1C．2  D．3解析：选C.当x>1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C.　　　　　　函数零点的应用(师生共研) 设函数f(x)＝(1)若a＝1，则f(x)的最小值为        ；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是        ．【解析】　(1)若a＝1，则f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．【答案】　(1)－1　(2)∪[2，＋∞)利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤(1)常用方法(2)一般步骤1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，3)  B．(1，2)C．(0，3)  D．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以即解得0<a<3，故选C.2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是        ．解析：画出函数f(x)＝的图象，如图所示．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0<m<1，即m∈(0，1)．答案：(0，1)3．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是        ．解析：因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝－，因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈.所以实数a的取值范围是.答案：核心素养系列5　直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则下列命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3，4)时，f(x)＝.其中正确命题的序号是        ．【解析】　由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝，函数y＝f(x)的部分图象如图所示：由图象知②正确，③不正确；当3<x<4时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝，因此④正确，故正确命题的序号为①②④.【答案】　①②④作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式 使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是        ．【解析】　在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)．【答案】　(－1，0)f(x)，g(x)之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围 若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是        ．【解析】　作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.【答案】　对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)A．a<b<c　　　　　　　 B．c<b<aC．c<a<b  D．b<a<c【解析】　在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a<b<c，故选A.【答案】　A零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)A．0　　　　　　　　　　  B．1C．2  D．3解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f(x)＝若f(a2)<f(2－a)，则实数a的取值范围是        ．解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a2<2－a，解得－2<a<1，故实数a的取值范围是(－2，1)．答案：(－2，1)[基础题组练]1．(2020·福州期末)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)A．0　　　　　　　　　 B．1C．2  D．3解析：选C.令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C.2．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　)A．y＝logx  B．y＝2x－1C．y＝x2－  D．y＝－x3解析：选B.函数y＝logx在定义域上单调递减，y＝x2－在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.3．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)方程log4x＋x＝7的解所在区间是(　　)A．(1，2)  B．(3，4)C．(5，6)  D．(6，7)解析：选C.令函数f(x)＝log4x＋x－7，则函数f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，且是连续函数．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)·f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在区间为(5，6)，所以方程log4x＋x＝7的解所在区间是(5，6)．故选C.4．(2020·内蒙古月考)已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)A．(－1，0)  B．{－1}∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞)  D．(0，1)解析：选B.在同一直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B.5．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点叙述正确的是(　　)A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点B．函数f(x)必有一个零点是正数C．当a<0时，函数f(x)有两个零点D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点解析：选B.f(x)＝0⇔ex＝a＋(x≠0)，在同一直角坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为        ．解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.答案：－7．(2020·新疆第一次适应性检测)设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为        ．解析：根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足⇒－1<a<e＋1，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，1，2，3.答案：48．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是        ．解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，所以x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.故实数a的取值范围为(－2，1)．法二：函数f(x)的图象大致如图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2<0，所以－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2，1)．答案：(－2，1)9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3或－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0，1)．10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⇒解得1<m<.所以m的取值范围为.[综合题组练]1．(一题多解)函数f(x)＝2x－零点的个数为(　　)A．0  B．1C．2  D．3解析：选B.法一：当x<0时，f(x)＝2x－>0恒成立，无零点；又易知f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增，最多有一个零点．又f＝－2<0，f(1)＝2－1>0，所以有一个零点．故选B.法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝2x和y＝的图象，如图所示．函数f(x)＝2x－的零点等价于2x＝的根等价于函数y＝2x和y＝的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.2．已知命题p：“m＝2”是“幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm在区间(0，＋∞)上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1(a，b∈N*)，则a＋b＝5.则下列命题为真命题的是(　　)A．p∧q  B．(﹁p)∧qC．﹁q  D．p∧(﹁q)解析：选A.对于命题p，若幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm在区间(0，＋∞)上为增函数，则解得m＝2，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋1>0，所以零点x0∈[a，b]，且b－a＝1(a，b∈N*)，则a＝2，b＝3，a＋b＝5，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q是真命题，(﹁p)∧q，﹁q，p∧(﹁q)都是假命题．故选A.3．设函数f(x)＝(x>0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：(1)如图所示．(2)因为f(x)＝＝故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，且－1＝1－，所以＋＝2.(3)由(1)中函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是(0，1)．4．(创新型)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.