2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第2章第9节　函数与方程

第九节　函数与方程

[最新考纲]　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

有关函数零点的3个结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)

(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：

则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)

A．2个　　　 B．3个

C．4个   D．5个

B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]

2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

C　[由题意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，

f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，

f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，

∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]

3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．

1　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函数f(x)有且只有一个零点．]

4．函数f(x)＝x－x的零点个数为________．

1　[作函数y1＝x和y2＝x的图象如图所示．

由图象知函数f(x)有1个零点．]

考点1　函数零点所在区间的判定

　判断函数零点所在区间的方法

(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．

(2)零点存在性定理．

(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．

　1.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)　 B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

B　[由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]

2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，

由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；

又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，

因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]

3．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(k∈Z)内，那么k＝________.

5　[∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在内，则整数k＝5.]

　(1)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．

考点2　函数零点个数的判断

　函数零点个数的讨论，基本解法有

(1)直接法，令f(x)＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点．

(2)定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．

(3)图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．

　(1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

(2)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

(1)B　(2)D　(3)C　[(1)由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.

(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.

(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．

当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．

根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]

　(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(2)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．

　1.函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

B　[令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，

可得|log0.5x|＝x.

设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x.

在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.]

2．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．

3　[依题意得

由此解得

由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，

该方程等价于 ①

或     ②

解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.]

考点3　函数零点的应用

　根据函数零点的情况求参数的3种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．

　根据函数零点个数求参数

　已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．

(0,1)∪(9，＋∞)　[设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．

由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，

所以 有两组不同解，

消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，

所以Δ＝(3－a)2－4a＞0，即a2－10a＋9＞0，

解得a＜1或a＞9.

又由图象得a＞0，∴0＜a＜1或a＞9.]

　由函数的零点个数求参数的值或范围的策略

已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．

　根据函数有无零点求参数

　已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是________．

(－∞，0]∪(1，＋∞)　[函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图象(图略)．

观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．]

　函数有无零点问题⇔函数图象与x轴有无公共点问题．

　根据零点的范围求参数

　若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．

　[依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足

即

解得＜m＜.]

　此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．

　1.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3)   B．(1,2)

C．(0,3)   D．(0,2)

C　[因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.]

2．方程log(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．

1　[若方程log(a－2x)＝2＋x有解，则()2＋x＝a－2x有解，即()x＋2x＝a有解，因为()x＋2x≥1，故a的最小值为1.]

3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

(－1,0)　[关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y1＝f(x)与函数y2＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．]