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    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第8节 函数的图象
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    2021版新高考数学(文科)一轮复习教师用书:第2章第8节 函数的图象

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    第八节 函数的图象

    [最新考纲] 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.

    1利用描点法作函数的图象

    方法步骤:(1)确定函数的定义域;

    (2)化简函数的解析式;

    (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)

    (4)描点连线.

    2利用图象变换法作函数的图象

    (1)平移变换

    (2)对称变换

    yf(x)的图象yf(x)的图象;

    yf(x)的图象yf(x)的图象;

    yf(x)的图象yf(x)的图象;

    yax(a0a1)的图象ylogax(a0a1)的图象.

    (3)伸缩变换

    yf(x)的图象

    f(ax)的图象;

    yf(x)的图象

    af(x)的图象.

    (4)翻转变换

    yf(x)的图象y|f(x)|的图象;

    yf(x)的图象yf(|x|)的图象.

    1关于对称的三个重要结论

    (1)函数yf(x)yf(2ax)的图象关于直线xa对称

    (2)函数yf(x)y2bf(2ax)的图象关于(ab)中心对称

    (3)若函数yf(x)的定义域内任意自变量x满足:f(ax)f(ax),则函数yf(x)的图象关于直线xa对称

    2函数图象平移变换八字方针

    (1)左加右减,要注意加减指的是自变量.

    (2)上加下减,要注意加减指的是函数值.

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)函数yf(1x)的图象,可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到.  (  )

    (2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)yf(x)的图象关于y轴对称.                            (  )

    (3)x(0,+)时,函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同.  (  )

    (4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x),则函数f(x)的图象关于直线x1对称.  (  )

    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)

    二、教材改编

    1.函数f(x)x的图象关于(  )

    Ay轴对称       B.直线y=-x对称

    C.坐标原点对称   D.直线yx对称

    C [f(x)x是奇函数,

    图象关于原点对称.]

    2.函数y21x的大致图象为(  )

    A     B     C    D

    A [y21x,因为01,所以y为减函数,取x0,则y2,故选A.]

    3.李明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.则与以上事件吻合最好的图象是(  )

    A         B

    C         D

    C [距学校的距离应逐渐减小,由于李明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快.]

    4.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x1)的解集是________

    (1,1] [在同一坐标系内作出yf(x)ylog2(x1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是(1,1]

    ]

    考点1 作函数的图象

     函数图象的常用画法

    (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象.

    (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.

    (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出.

     作出下列函数的图象:

    (1)y|x|(2)y|log2(x1)|

    (3)y(4)yx22|x|1.

    [] (1)先作出y的图象,保留y图象中x0的部分,再作出y的图象中x0部分关于y轴的对称部分,即得y|x|的图象,如图1实线部分.

    1       图2

    (2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y|log2(x1)|的图象,如图2.

    (3)y2,故函数图象可由y图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图3.

    3      图4

    (4)y且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+)上的图象,再根据对称性作出(0)上的图象,得图象如图4.

     (1)画函数的图象一定要注意定义域.

    (2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

    考点2 函数图象的辨识

     辨析函数图象的入手点

    (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.

    (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.

    (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.

    (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.

    (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

     (1)(2019·全国卷)函数f(x)[ππ]的图象大致为(  )

    A        B

    C         D

    (2)已知定义在区间[0,2]上的函数yf(x)的图象如图所示,则y=-f(2x)的图象为(  )

    A        B

    C        D

    (1)D (2)B [(1)f(x)=-=-f(x)

    f(x)是奇函数.又f(π)0D.

    (2)x0时,-f(2x)=-f(2)=-1;当x1时,-f(2x)=-f(1)=-1.观察各选项可知,应选B.

     通过图象变换识别函数图象要掌握的两点

    (1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)

    (2)了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换.

     1.函数y[6,6]的图象大致为(  )

    A     B     C     D

    B [f(x)(x[6,6]),则f(x)=-f(x)f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时,f(1)=-0,排除选项D;当x4时,f(4)7.97,排除选项A.故选B.]

    2.如图,不规则四边形ABCD中,ABCD是线段,ADBC是圆弧,直线lABABE,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AEx,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是(  )

    A     B     C     D

    C [l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.]

    考点3 函数图象的应用

     利用函数图象的直观性求解相关问题,关键在于准确作出函数图象,根据函数解析式的特征和图象的直观性确定函数的相关性质,特别是函数图象的对称性等,然后解决相关问题.

     研究函数的性质

     (1)已知函数f(x)x|x|2x,则下列结论正确的是(  )

    Af(x)是偶函数,递增区间是(0,+)

    Bf(x)是偶函数,递减区间是(1)

    Cf(x)是奇函数,递减区间是(1,1)

    Df(x)是奇函数,递增区间是(0)

    (2)abR,记max{ab}函数f(x)max{|x1||x2|}(xR)的最小值是________

    (1)C (2) [(1)将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(1,1)上单调递减.

    (2)函数f(x)max{|x1||x2|}(xR)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为.

    ]

     利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应关系.如:图象的左右范围对应定义域,上下范围对应值域,上升、下降趋势对应单调性,对称性对应奇偶性.

     解不等式

     设奇函数f(x)(0,+)上为增函数,且f(1)0,则不等式0的解集为(  )

    A(1,0)(1,+)

    B(,-1)(0,1)

    C(,-1)(1,+)

    D(1,0)(0,1)

    D [因为f(x)为奇函数,所以不等式0可化为0,即xf(x)0f(x)的大致图象如图所示.所以xf(x)0的解集为(1,0)(0,1)]

     当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.

     求参数的取值范围

     (1)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是________

    (2)设函数f(x)|xa|g(x)x1,对于任意的xR,不等式f(x)g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________

    (1)(0,1] (2)[1,+) [(1)作出函数yf(x)yk的图象,如图所示,

    由图可知k(0,1]

    (2)如图作出函数f(x)|xa|g(x)x1的图象,观察图象可知,当且仅当-a1,即a1时,不等式f(x)g(x)恒成立,因此a的取值范围是[1,+)]

     当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.

     1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f(x),则下列结论正确的是(  )

    A.函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称

    B.函数f(x)(1)上是增函数

    C.函数f(x)的图象上至少存在两点AB,使得直线ABx

    D.函数f(x)的图象关于直线x1对称

    A [因为y2,所以该函数图象可以由y的图象向右平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称,A正确,D错误;易知函数f(x)(1)上单调递减,故B错误;易知函数f(x)的图象是由y的图象平移得到的,所以不存在两点AB使得直线ABx轴,C错误.故选A.]

    2.已知函数yf(x)的图象是圆x2y22上的两段弧,如图所示,则不等式f(x)f(x)2x的解集是________

    (1,0)(1] [由图象可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)>-x.在同一直角坐标系中分别画出yf(x)y=-x的图象,由图象可知不等式的解集为(1,0)(1]

    ]

    3.已知函数f(x)|x2|1g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是________

     [先作出函数f(x)|x2|1的图象,如图所示,当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)kxA点时斜率为,故f(x)g(x)有两个不相等的实根时,k的取值范围为.]

     

     

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