2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十二章高考专题突破六高考中的概率与统计问题

高考专题突破六　高考中的概率与统计问题
概率与统计的综合应用
例1　(2020·汉中模拟)槟榔原产于马来西亚，在中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字).

(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？
(2)在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽取B班学生人数X的分布列和均值.
解　(1)A班样本数据的平均值为(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17，
B班样本数据的平均值为(11＋12＋21＋25＋26)＝19，
由此估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19，
故估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多.
(2)∵平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中，
A班有2人，B班有3人，共有5人，
∴X的可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X
1
2
3
P




∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
思维升华　概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.
跟踪训练1　(2020·西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.

(1)求这些产品的质量指标值落在区间[75,85]内的频率；
(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于[45,75)内的产品件数为X，求X的分布列与均值.
解　(1)设落在区间[75,85]内的频率为x，则落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x和2x，
依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，
解得x＝0.05.
所以落在区间[75,85]内的频率为0.05.
(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3.
由(1)得，落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.
因为X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝C×0.60×0.43＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.61×0.42＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×0.41＝0.432，
P(X＝3)＝C×0.63×0.40＝0.216，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216

所以X的均值为E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.
(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)＝np＝3×0.6＝1.8)

概率与统计案例的综合应用
例2　(2020·华中师大附中模拟)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如表所示：
分数a
95≤a≤100
85≤a