2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十三章13.1第2课时参数方程

第2课时　参数方程
最新考纲
考情考向分析
1.了解参数方程，了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查.在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.


1.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f (t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.
2.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
抛物线
y2＝2px(p>0)
(t为参数)

概念方法微思考
1.在直线的参数方程(t为参数)中，
(1)t的几何意义是什么？
(2)如何利用t的几何意义求直线上任意两点P1，P2的距离？
提示　(1)t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量.
(2)|P1P2|＝|t1－t2|＝.
2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？
提示　θ的几何意义为该圆的圆心角.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.(　√　)
(2)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.(　√　)
(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　×　)
(4)参数方程表示的曲线为椭圆.(　×　)
题组二　教材改编
2.曲线(θ为参数)的对称中心(　　)
A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上
C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上
答案　B
解析　由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上.
3.直线(t为参数)与圆(θ为参数)的位置关系为(　　)
A.相离 B.相切
C.相交且直线过圆心 D.相交但直线不过圆心
答案　D
解析　消去参数，得直线方程为x－y－1＝0，
圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径R＝1，
圆心到直线的距离为d＝＝<1，
所以直线与圆相交，但不经过圆心.
题组三　易错自纠
4.(2019·北京市西城区模拟)下列直线中，与曲线C：(t为参数)没有公共点的是(　　)
A.2x＋y＝0 B.2x＋y－4＝0
C.2x－y＝0 D.2x－y－4＝0
答案　C
解析　消去参数t，得2x－y＝4，所以与直线2x－y＝0平行，即没有公共点.故选C.
5.已知直线l的参数方程是(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝，则直线l的斜率为 .
答案　±
解析　由(t为参数)，得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，
∴圆心到直线y＝kx的距离为
＝＝，得k＝±.
6.设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求的取值范围.
解　由曲线C：(θ为参数)，
得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆.
表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的取值范围为.

参数方程与普通方程的互化
例1　在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设P(2s2，2s)，
从而点P到直线l的距离d＝＝，
当s＝时，dmin＝.
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.
思维升华　消去参数的方法一般有三种
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.
(2)利用三角恒等式消去参数.
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.
解　(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4.
直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，
得(2x－2)2＋y2＝4，即(x－1)2＋＝1，
再将所得曲线向左平移1个单位长度，
得曲线C1：x2＋＝1，
则曲线C1的参数方程为(θ为参数).
设曲线C1上任一点P(cos θ，2sin θ)，
则点P到直线l的距离
d＝
＝≥，
所以点P到直线l的距离的最小值为.
参数方程的应用
例2　(2019·河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(α为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2＝4ρcos θ－3.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值.
解　(1)曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝5.
由ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，得曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＋3＝0.
(2)将两圆的方程x2＋(y－2)2＝5与x2＋y2－4x＋3＝0作差，得直线AB的方程为x－y－1＝0.
点P(0，－1)在直线AB上，设直线AB的参数方程为(t为参数)，
代入x2＋y2－4x＋3＝0化简得t2－3t＋4＝0，
所以t1＋t2＝3，t1t2＝4.
因为点M对应的参数为＝，
所以|PM|·|AB|＝·|t1－t2|
＝×
＝×＝3.
思维升华　(1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决.
(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
跟踪训练2　(2019·武汉模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ＋6cos θ.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)已知P(1,3)，C1与C2的交点为A，B，求|PA|·|PB|的值.
解　(1)由ρ＝8sin θ＋6cos θ，得ρ2＝8ρsin θ＋6ρcos θ，
∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴x2＋y2－6x－8y＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝25.
(2)设A，
B，
把代入(x－3)2＋(y－4)2＝25，
得t2＋t－20＝0，则t1，t2是该方程的两个实数根，
∴t1t2＝－20，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝20.
极坐标方程和参数方程的综合应用
例3　(2019·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中P(，2)，求直线l的斜率.
解　(1)因为α＝，
所以直线l的参数方程为(t为参数).
消t可得直线l的普通方程为x－y＋＝0.
因为曲线C的极坐标方程ρ＝可化为
ρ2(1＋3cos2θ)＝4，
所以曲线C的直角坐标方程为4x2＋y2＝4.
(2)设直线l上两点A，B对应的参数分别为t1，t2，
将代入曲线C的直角坐标方程4x2＋y2＝4，可得4(＋tcos α)2＋(2＋tsin α)2＝4，
化简得(4cos2α＋sin2α)t2＋(8cos α＋4sin α)t＋12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，
所以＝7，解得tan2α＝.
因为Δ＝(8cos α＋4sin α)2－48(4cos2α＋sin2α)>0，
即2sin α(2cos α－sin α)>0，可知tan α>0，
解得tan α＝，
所以直线l的斜率为.
思维升华　在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.

跟踪训练3　(1)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝，C2的参数方程为
(t为参数).
①将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程；
②若C1与C2相交于A，B两点，求|AB|.
解　①曲线C1的极坐标方程ρ＝，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，∴曲线C1的普通方程为y2＝2x，曲线C2的参数方程为(t为参数)，消去参数t，得C2的普通方程为x＋y＝4.
②将C2的参数方程代入C1的普通方程并化简得t2－3t＝0，解得t1＝0，t2＝6，故|AB|＝|t1－t2|＝6.
(2)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
①将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
②设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.
解　①ρ＝2cos θ变形为ρ2＝2ρcos θ.(ⅰ)
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入(ⅰ)式即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.(ⅱ)
②将代入(ⅱ)式，
得t2＋5t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.







1.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数).
(1)求曲线C的普通方程；
(2)经过点P(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程.
解　(1)由曲线C的参数方程，得
所以cos2θ＋sin2θ＝2＋y2＝1，
所以曲线C的普通方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的倾斜角为θ1，则直线l的参数方程为(t为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程，得(cos2θ1＋4sin2θ1)t2＋(2cos θ1＋4sin θ1)t－2＝0，
所以t1＋t2＝－，由题意知t1＝－t2，
所以2cos θ1＋4sin θ1＝0，得k＝－，
所以直线l的方程为x＋2y－2＝0.
2.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：＋＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(2cos θ－sin θ)＝6.
(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；
(2)在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值.
解　(1)由条件得ρ(2cos θ－sin θ)＝2ρcos θ－ρsin θ＝6，
将ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式得2x－y－6＝0，
∴直线l的直角坐标方程为2x－y－6＝0.
由 得
∴曲线C1的参数方程为(θ为参数).
(2)设点P的坐标(cos θ，2sin θ)，则点P到直线l的距离为d＝＝，
∴当sin＝－1，即θ＝时，
dmax＝＝2，
此时点P的坐标为.
3.(2019·四川省名校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ2(cos2θ＋4sin2θ)＝4，过点P(2,1)的直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值，并求定点P到A，B两点的距离之积.
解　(1)由(t为参数)，消去参数t，
得直线l的普通方程为x－y－1＝0.
由ρ2(cos2θ＋4sin2θ)＝4，得曲线C的直角坐标方程为
x2＋4y2－4＝0.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，
代入x2＋4y2－4＝0，得5t2＋12t＋8＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－，t1t2＝.
∴|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝，
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.
所以|AB|的值为，定点P到A，B两点的距离之积为.

4.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l经过点A(－2,1).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为＝.
(1)写出曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求|AM|＋|AN|的取值范围.
解　(1)由＝，得ρ2＋2ρsin θ＝3.
将代入上式中，
得曲线C的普通方程为x2＋y2＋2y－3＝0.
(2)将l的参数方程(t为参数)代入C的方程x2＋y2＋2y－3＝0，
整理得t2－4(cos α－sin α)t＋4＝0.
因为直线l与曲线C有两个不同的交点，
所以Δ＝42(cos α－sin α)2－42>0，
化简得cos αsin α<0.
又0≤α<π，所以<α<π，且cos α<0，sin α>0.
设方程的两根为t1，t2，则t1＋t2＝4(cos α－sin α)<0，t1t2＝4>0，所以t1<0，t2<0，
所以|AM|＋|AN|＝－(t1＋t2)＝4(sin α－cos α)
＝4sin.
由<α<π，得<α－<，所以 从而4<4sin≤4，
即|AM|＋|AN|的取值范围是(4,4].
5.已知曲线C1的参数方程为(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C1上的点按坐标变换得到曲线C2，以原点为极点、x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线θ＝(ρ∈R)与曲线C1交于M，N两点，与曲线C2交于P，Q两点，求的值.
解　(1)已知曲线C1的参数方程为(α为参数)，消去参数α，得＋＝1.
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴3ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝12，
即曲线C1的极坐标方程为ρ2(3＋sin2θ)＝12.
又由已知得
代入＋＝1，得＋＝1，
∴曲线C2的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝9.
(2)将θ＝代入ρ2(3＋sin2θ)＝12，得ρ2＝，∴ρ＝±，∴|MN|＝.
又直线的参数方程为(t为参数)，
代入(x－2)2＋(y－2)2＝9，整理得t2－2(＋1)t＋7＝0，分别记P，Q两点对应的参数为t1，t2，则
∴|PQ|＝|t1－t2|＝＝2，
∴＝＝.