2021高考数学一轮复习学案：第七章高考专题突破四高考中的立体几何问题

高考专题突破四　高考中的立体几何问题
空间角的求法
命题点1　求线线角
例1　(2019·湖北知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________．
答案　
解析　方法一　令M为AC的中点，连结MB，MA1，
由题意知△ABC是等边三角形，所以BM⊥AC，
同理，A1M⊥AC，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1，
因为A1M⊂平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，
所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，)，C1(－2,0，)，
所以＝(－3,0，)，＝(0，，－)，
所以cos〈，〉＝＝－，
故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.
方法二　如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连结BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连结DD1，BD1，则AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角．连结A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连结BM，

设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝，A1M＝，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M⊂平面A1ACC1，
所以A1M⊥平面ABC，又BM⊂平面ABC，
所以A1M⊥BM，所以A1B＝，
在菱形A1ACC1中，可求得AC1＝2＝BD1，
同理，在菱形A1B1D1C1中，求得A1D1＝2，
所以cos∠A1BD1＝＝＝，
所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.
思维升华　(1)求异面直线所成角的思路：
①选好基底或建立空间直角坐标系．
②求出两直线的方向向量v1，v2.
③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．
(2)两异面直线所成角的关注点：
两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．
跟踪训练1　(2020·邵阳模拟)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　C
解析　∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1＝，
以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，
＝(0,1，)，＝(0，－1，)，
设直线AB1与CD1所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝，
又0°