2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第四章4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
最新考纲
考情考向分析
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合，强调恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题，中低档难度.



1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α


口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限

概念方法微思考
1.使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？
提示　根据角所在象限确定三角函数值的符号.
2.诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示　所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　×　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　×　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　)
题组二　教材改编
2.若sin α＝，<α<π，则tan α＝ .
答案　－
解析　∵<α<π，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
3.已知tan α＝2，则的值为 .
答案　3
解析　原式＝＝＝3.
4.化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 .
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.

题组三　易错自纠
5.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为 .
答案　－
解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，
∴sin θ－cos θ＝－.
6.若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝ ；cos＝ .
答案　　
解析　由sin(π＋α)＝－，得sin α＝，
则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝，
cos＝cos＝cos
＝cos＝sin α＝.

同角三角函数基本关系式的应用
1.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　C
解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，
所以cos α＝＝，
故tan α＝＝－.
2.已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为 .
答案　－
解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，
得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α<0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
3.若角α的终边落在第三象限，则＋的值为 .
答案　－3
解析　由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cos α<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
4.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案　－
解析　方法一　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得
所以tan θ＝－.
方法二　因为sin θ＋cos θ＝，
所以sin θcos θ＝－，
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.
又sin θcos θ＝－<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cos θ<0.
所以sin θ＝，cos θ＝－.
所以tan θ＝＝－.
方法三　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
所以＝－.
齐次化切，得＝－，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝－.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0，
所以θ∈，所以tan θ＝－.
思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
诱导公式的应用
例1　(1)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝ .
答案　－
解析　因为θ是第四象限角，且sin＝，
所以θ＋为第一象限角，
所以cos＝，
所以tan＝＝＝－＝－.
(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A.{1，－1,2，－2} B.{－1,1}
C.{2，－2} D.{1，－1,0,2，－2}
答案　C
解析　当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
思维升华　(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
跟踪训练1　(1)已知sin＝，则cos等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　B
解析　因为sin＝，
所以cos＝sin
＝sin＝.
(2)(2019·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sin＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)等于(　　)
A. B.－
C.－ D.－1
答案　B
解析　由sin＋3cos(α－π)＝1，
得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－，
∵角α是第二象限角，∴sin α＝，
∴tan(π＋α)＝tan α＝＝－.


同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2　(1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　D
解析　由tan 2θ＝－2可得tan 2θ＝＝－2，
即tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝或tan θ＝－.
又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝，
故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ
＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ
＝
＝＝＝.
(2)已知－π 解　由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π 又sin xcos x＝－<0，
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
＝
＝
＝＝－.
本例(2)中若将条件“－π 解　若0 ∴sin x>0，cos x<0，
∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝.
思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
跟踪训练2　(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝ .
答案　或－
解析　因为sin α＝>0，
所以α为第一或第二象限角.
tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.
①当α是第一象限角时，cos α＝＝，
原式＝＝.
②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
综合①②知，原式＝或－.
(2)若tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A. B.
C.－1 D.1
答案　A
解析　∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.
原式＝＝＝.


1.若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　C
解析　因为sin α＝－，且α为第三象限角，
所以cos α＝－，所以tan α＝.
2.已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　D
解析　因为tan α＝－，所以＝－，
所以cos α＝－sin α，
代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，
又α是第四象限角，所以sin α＝－.
3.(2019·杭州学军中学模拟)已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值为(　　)
A. B.
C. D.－
答案　B
解析　sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝.
4.已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin等于(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　B
解析　由tan(α－π)＝⇒tan α＝.
又因为α∈，所以α为第三象限角，
sin＝cos α＝－.
5.(2019·沧州七校联考)已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)
A. B.－ C.－2 D.2
答案　A
解析　由＝5，得＝5，
即tan α＝2.
所以sin2α－sin αcos α＝＝＝.
6.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)
A.1＋ B.1－
C.1± D.－1－
答案　B
解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，
又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
∴＝1＋，解得m＝1±，
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，
∴m＝1－.
7.sin π·cos π·tan的值是 .
答案　－
解析　原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
8.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝ .
答案　
解析　由已知得tan θ＝3，
∴＝
＝＝.
9.(2019·沧州七校联考)已知sin(3π＋α)＝2sin，
则＝ ；sin2α＋sin 2α＝ .
答案　－　
解析　∵sin(3π＋α)＝2sin，
∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α.
＝＝＝－.
∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2，
∴sin2α＋sin 2α＝＝＝＝.
10.若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝ .
答案　
解析　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，则sin α＝－.
原式＝＝－＝.
11.已知－<α<0，且函数f (α)＝cos－sin α·－1.
(1)化简f (α)；
(2)若f (α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值.
解　(1)f (α)＝sin α－sin α·－1＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α.
(2)方法一　由f (α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin α·cos α＋cos2α＝，
即2sin α·cos α＝－.
∴sin α·cos α＝－.
又－<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0，
∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，
∴sin α－cos α＝－.
方法二　联立方程
解得或
∵－<α<0，∴
∴sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－.
12.已知k∈Z，化简：.
解　当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
w
13.(2020·嘉兴联考)已知α为钝角，sin＝，则sin＝ ，cos＝ .
答案　－　
解析　sin＝cos＝cos，
∵α为钝角，∴π<＋α<π.∴cos<0.
∴cos＝－＝－.
cos＝sin＝sin＝.
14.已知2θ是第一象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么tan θ＝ .
答案　
解析　因为sin4θ＋cos4θ＝，
所以(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.
所以sin θcos θ＝，所以＝，
即＝，解得tan θ＝或tan θ＝.
又因为2θ为第一象限角，
所以2kπ<2θ<2kπ＋，k∈Z.
所以kπ<θ<＋kπ，k∈Z.
所以0 所以tan θ＝.

15.已知A，B为△ABC的两个内角，若sin(2π＋A)＝－·sin(2π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则B＝ .
答案　
解析　由已知得
化简得2cos2A＝1，即cos A＝±.
当cos A＝时，cos B＝，
又A，B是三角形内角，∴B＝；
当cos A＝－时，cos B＝－，
又A，B是三角形内角，
∴A＝，B＝，不合题意，舍去，
综上可知B＝.
16.已知sin α＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围.
解　因为sin α＝1－sin＝1－cos β，
所以cos β＝1－sin α.
因为－1≤cos β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1].
所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cos β＋1＝sin2α－sin α＋2＝2＋.(*)
又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为.