2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第78课总体特征数的估计
展开第78课 总体特征数的估计
1. 会根据实际问题的需求，合理地选取样本，掌握从样本数据中提取基本的数据特征(如平均数、方差、标准差)的方法.
2. 理解统计中的常用术语：总体、个体、样本、平均数、方差、中位数、众数.
3. 体会用样本估计总体的统计思想，解决简单的实际问题；会通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，体会统计思维与确定性思维的差异，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
1. 阅读：必修5第65～78页.
2. 解悟：①ai＝a1＋a2＋…＋an；②哪些量可以估计总体的特征？③标准差是样本数据到平均数的一种平均距离；④方差和标准差的公式.
3. 践习：在教材空白处，完成第72～73页习题第4、5、6、7题.
基础诊断
1. 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 2 .
解析：由题意知×(9＋8＋x＋10＋11)＝10，解得x＝12，所以该组样本数据的方差为s2＝×[(9－10)2＋(8－10)2＋(12－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2]＝2.
2. 若数据x1，x2，x3，x4，x5，3的平均数是3，则数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是 3 Ｗ.
解析：由题意得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋3＝3×6，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝15，所以x1，x2，x3，x4，x5的平均数为(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝15÷5＝3.
3. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的标准差为 Ｗ.
解析：因为数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为2，所以2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为22×2＝8，所以其标准差为2.
4. 如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)的茎叶图，则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是 甲 .
解析：x甲＝(87＋89＋90＋91＋93)÷5＝90，s＝×[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4；x乙＝(78＋88＋89＋96＋99)÷5＝90，s＝×[(78－90)2＋(88－90)2＋(89－90)2＋(96－90)2＋(99－90)2]＝53.2.因为s<s，所以成绩比较稳定的运动员是甲.
范例导航
考向❶ 算术平均数
例1 如图是一次摄影大赛上七位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是 1 .
解析：若x>4，则去掉一个最高分90＋x和一个最低分86后，平均分为×(89＋91＋92＋92＋94)＝91.6(分)，不符合题意，故x≤4，最高分是94.去掉一个最高分94和一个最低分86后，平均分是×(89＋92＋90＋x＋91＋92)＝91，解得x＝1.
已知样本6，7，8，9，m的平均数是8，则该数据的标准差是 .
解析：由题意得×(6＋7＋8＋9＋m)＝8，解得m＝10，所以该数据的方差s2＝×[(8－6)2＋(8－7)2＋(8－8)2＋(8－9)2＋(8－10)2]＝2，所以s＝.
考向❷ 方差
例2 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
(1) 分别计算两组数据的平均数；
(2) 分别计算两组数据的方差；
(3) 根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些.
解析：(1) x甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
x乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环).
(2) 由方差公式s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]可求得s＝3，s＝1.2.
(3) 由x甲＝x乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当.因为s>s，说明甲战士射击水平波动大，所以乙战士比甲战士射击水平更稳定.
甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩(单位：环)如下表：
选手 | 第1轮 | 第2轮 | 第3轮 | 第4轮 | 第5轮 |
甲 | 9.8 | 9.9 | 10.1 | 10 | 10.2 |
乙 | 9.4 | 10.3 | 10.8 | 9.7 | 9.8 |
则甲、乙两位选手中成绩比较稳定的选手的方差是 0.02 .
解析：x甲＝(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)÷5＝10，s＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02；x乙＝(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)÷5＝10，s＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，所以甲、乙两位选手中成绩比较稳定的选手的方差为0.02.
考向❸ 标准差
例3 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
成绩xn | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 |
(1) 求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2) 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学的成绩在区间(68，75)上的概率.
解析：(1) 因为这6位同学的平均成绩为75分，
所以×(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，
解得x6＝90.
这6位同学成绩的方差：
s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以标准差s＝7.
(2) 从前5位同学中，随机地选取2位同学的成绩有：(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的有： (70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4种，所以所求的概率为＝0.4，即恰有1位同学的成绩在区间(68，75)上的概率为0.4.
自测反馈
1. 样本数据 8，6，6，5，10 的方差s2＝ 3.2 .
解析：x＝(8＋6＋6＋5＋10)÷5＝7，s2＝×[(8－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(10－7)2]＝3.2.
2. 若数据2，x，2，2的方差为0，则x＝ 2 .
解析：设数据的平均数为x，则×[3(2－x)2＋(x－x)2]＝0，解得x＝x＝2，故x的值为2.
3. 若一组样本2 015，2 017，x，2 018，2 016的平均数是2 017，则该组样本数据的方差是 2 .
解析：由题意得×(2 015＋2 017＋x＋2 018＋2 016)＝2 017，解得x＝2 019，所以样本数据的方差s2＝×[(2 015－2 017)2＋(2 017－2 017)2＋(2 019－2 017)2＋(2 018－2 017)2＋(2 016－2 017)2]＝2.
4. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 .
解析：x甲＝×(88＋92＋96)＝92，s＝×[(92－88)2＋(92－92)2＋(92－96)2]＝；x乙＝×(90＋91＋95)＝92，s＝×[(92－90)2＋(92－91)2＋(92－95)2]＝，所以方差较小的那组同学成绩的方差为.
1. 要能够体会用样本估计总体的方法，体会统计思维与确定性思维的不同，理解统计学的实际意义.
2. 掌握样本特征数的方法，主要是平均数、方差和标准差的公式.
3. 你还有哪些体悟，写下来：
