2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第2节函数的单调性与最值

第二节　函数的单调性与最值

[考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．

2．函数的最值

[常用结论]

1．对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，＜0⇔f(x)在D上是减函数．

2．对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．

3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

4．函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

5．函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　)

(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　 )

(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞)．(　　)

(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．y＝ln(x＋2)　　　　　　　 B．y＝－

C．y＝x   D．y＝x＋

A　[y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，故A正确．]

3．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的递增区间是(　　)

A．(2，＋∞)   B．(－∞，2)

C．(－2，＋∞)   D．(－∞，－2)

B　[由题意可知a＜0，而函数g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a，

∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的递增区间为(－∞，2)．]

4．若函数f(x)是R上的减函数，且f(a2－a)＜f(a)，则a的取值范围是(　　)

A．(0,2)   B．(－∞，0)∪(2，＋∞)

C．(－∞，0)   D．(2，＋∞)

B　[由题意得a2－a＞a，

解得a＞2或a＜0，故选B.]

5．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

2　　[易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，

故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]

确定函数的单调性(区间)

【例1】　(1)(2019·石嘴山模拟)函数y＝ln(－x2＋2x＋3)的减区间是(　　)

A．(－1,1]　　　　　　　 B．[1,3)

C．(－∞，1]   D．[1，＋∞)

(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

(1)B　[令t＝－x2＋2x＋3，由t＞0得－1＜x＜3，故函数的定义域为(－1,3)，要求函数y＝ln(－x2＋2x＋3)的减区间，由复合函数单调性可知，只需求t＝－x2＋2x＋3在(－1,3)上的减区间，即[1,3)．]

(2)[解]　法一：设－1＜x1＜x2＜1，

f(x)＝a＝a，

f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．

法二：f′(x)＝

＝＝－.

当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上递减；

当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上递增．

(1)(2019·北京模拟)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．y＝   B．y＝sin x

C．y＝2－x   D．y＝log(x＋1)

(2)y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为________．

(1)A　(2)(－∞，－1]，[0,1]　[(1)A项是[－1，＋∞)上的增函数，B项不是单调函数，C项是R上的减函数，D项是(－1，＋∞)上的减函数．

(2)由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图像如图．

由图像可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为(－∞，－1]，[0,1]．]

求函数的最值

【例2】　(1)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,2]   B．[－1,0]

C．[1,2]   D．[0,2]

(2)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．

(1)D　(2)3　(3)　[(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．

故当x＝1时取得最小值2＋a，∵f(x)的最小值为f(0)，

∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2递减，故a≥0，

此时的最小值为f(0)＝a2，

故2＋a≥a2得－1≤a≤2.

又a≥0，得0≤a≤2.故选D.

(2)∵f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.

(3)令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]

(1)函数f(x)＝(x＞1)的最小值为________．

(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2 x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

(1)8　(2)1　[(1)f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，

当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8.

(2)法一：在同一坐标系中，

作函数f(x)，g(x)图像，

依题意，h(x)的图像如图所示．

易知点A(2,1)为图像的最高点，

因此h(x)的最大值为h(2)＝1.

法二：依题意，h(x)＝

当0＜x≤2时，h(x)＝log2 x是增函数，

当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，

所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.]

函数单调性的应用

►考法1　比较大小

【例3】　已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＞a＞b   B．c＞b＞a

C．a＞c＞b   D．b＞a＞c

D　[根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]

►考法2　解抽象不等式

【例4】　f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．

(8,9]　[因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8<x≤9.]

►考法3　求参数的取值范围

【例5】　已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是(　　)

A．(1,2)   B.

C.   D.

C　[由已知条件得f(x)为增函数，

所以解得≤a＜2，

所以a的取值范围是.故选C.]

已知函数f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)内递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]   B．[2，＋∞)

C.   D.

D　[由题意可知

即－＜a≤2.故选D.]

1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)　　　　　　　 B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)   D．(4，＋∞)

D　[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．

要求函数f(x)的递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的递增区间．

∵函数t＝x2－2x－8的递增区间为(4，＋∞)，

∴函数f(x)的递增区间为(4，＋∞)．

故选D.]

2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)

A.

B.∪(1，＋∞)

C.

D.∪

A　[∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，

∴函数f(x)为偶函数．

∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，

在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，

根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上递增．

综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔<x<1.故选A.]