2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第4节二次函数与幂函数

第四节　二次函数与幂函数

[考纲传真]　1.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.2.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图像，了解它们的变化情况．

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图像与性质

2.幂函数

(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．

(2)五种常见幂函数的图像与性质

[常用结论]

1．幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论

(1)恒过点(1,1)；

(2)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．

2．研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[m，n](m＜n)上的单调性与值域时，分类讨论－与m或n的大小．

3．二次函数图像对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图像关于x＝对称．

(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称(a为常数)．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数． (　　)

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是. (　　)

(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)． (　　)

(4)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于(　　)

A.　　　　　　　 B．1

C.   D．2

C　[∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1，

又f＝α＝，∴α＝，

∴k＋α＝1＋＝.]

3.如图是y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c  B．a＜b＜c

C．b＜c＜a  D．a＜c＜b

D　[结合幂函数的图像可知b＞c＞a.]

4．(教材改编)已知函数y＝x2＋ax＋6在内是增函数，则a的取值范围为(　　)

A．a≤－5   B．a≤5

C．a≥－5   D．a≥5

C　[由题意可得－≤，即a≥－5.]

5．(教材改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________．

[－1,3]　[∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，

∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，

又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，

∴g(x)max＝3，即g(x)的值域为[－1,3]．]

幂函数的图像及性质

1．幂函数y＝f(x)的图像经过点(3，)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

D　[设幂函数f(x)＝xα，则f(3)＝3α＝，解得α＝，则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]

2.幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为(　　)

A．0　　　　　　　　 B．1

C．2   D．3

C　[由图像可知y＝xm2－4m是偶函数，且m2－4m＜0，

∴0＜m＜4，又m∈Z，∴m＝1,2,3，

经检验m＝2符合题意．]

3．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．

　[易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以

解之得－1≤a＜.]

求二次函数的解析式

【例1】　(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对任意x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________．

(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.

(1)f(x)＝x2－2x＋3　(2)－2x2＋4　[(1)∵f(0)＝3，∴c＝3.

又f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，

∴＝1，∴b＝2.

∴f(x)＝x2－2x＋3.

(2)∵f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，

又f(x)为偶函数，且值域为(－∞，4]，

∴∴

∴f(x)＝－2x2＋4.]

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．

[解]　法一(利用一般式)：

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得

解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二(利用顶点式)：

设f(x)＝a(x－m)2＋n.

∵f(2)＝f(－1)，

∴函数图像的对称轴为x＝＝.

∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.

∴y＝f(x)＝a2＋8.

∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，

∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三(利用零点式)：

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数的最大值是8，即＝8，解得a＝－4，

∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

二次函数的图像与性质

►考法1　二次函数的单调性

【例2】　函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3,0)   B．(－∞，－3]

C．[－2,0]   D．[－3,0]

D　[当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．

当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，

由f(x)在[－1，＋∞)上递减知

解得－3≤a＜0.

综上，a的取值范围为[－3,0]．]

[母题探究]　若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.

－3　[由题意知f(x)必为二次函数且a＜0，又＝－1，∴a＝－3.]

►考法2　二次函数的最值

【例3】　求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．

[解]　f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，

∴f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.

(1)当－a＜，即a＞－时，

f(x)max＝f(2)＝4a＋5；

(2)当－a≥，即a≤－时，

f(x)max＝f(－1)＝2－2a.

综上，f(x)max＝

►考法3　二次函数中的恒成立问题

【例4】　(1)已知函数f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切x∈，f(x)＞0都成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C．[－4，＋∞)   D．(－4，＋∞)

(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．

(1)B　(2)　[(1)因为对一切x∈，f(x)＞0都成立，所以当x∈时，a＞＝－＋＝－22＋，

又－22＋≤，

则实数a的取值范围为.

(2)因为函数f(x)＝x2＋mx－1的图像是开口向上的抛物线，要使对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有

即解得－＜m＜0.

所以实数m的取值范围是.]

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.

(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．

[解]　(1)由题意知解得

所以f(x)＝x2＋2x＋1，

函数f(x)的递增区间为[－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1]．

(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，

令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]．

g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，

则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，

故k的取值范围是(－∞，1)．