2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第5节指数与指数函数
展开第五节 指数与指数函数
[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景.3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图像.4.体会指数函数是一类重要的函数模型．
1．有理指数幂
(1)分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．指数函数的图像与性质
图像 | a＞1 | 0＜a＜1 | |
定义域 | R | ||
值域 | (0，＋∞) | ||
性质 | 过定点(0,1) | ||
当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 | 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1 | ||
| 在R上是增函数 | 在R上是减函数 | |
[常用结论]
1．指数函数图像的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图像与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a. ( )
(2)(－1)＝(－1)＝. ( )
(3)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)． ( )
(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．函数y＝ax－1＋2(a＞0，且a≠1)的图像恒过点的坐标为( )
A．(2,2) B．(2,4)
C．(1,2) D．(1,3)
D [令x－1＝0得x＝1，此时y＝1＋2＝3，故选D.]
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
C [y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，
∴0.60.6＞0.61.5，
又y＝x0.6为R上的增函数，
∴1.50.6＞0.60.6，
∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5.
即c＞a＞b.]
4．(教材改编)函数f(x)＝21－x的大致图像为( )
A B
C D
A [f(x)＝21－x＝x－1，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故选A.]
5．(教材改编)计算：
4a [原式＝×ab＝4a1b0＝4a.]
指数幂的运算
1．化简(x＜0，y＜0)的正确结果是( )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
D [∵x＜0，y＜0，∴＝－2x2y，选D.]
2．计算0＋2－2×－－(0.01)＝________.
[原式＝1＋×－
＝1＋×－
＝.]
3.ab－2(－3ab－1)÷(4ab－3)·＝________.
－ [原式＝÷2ab·ab
＝－ab·ab＝－.]
[规律方法] 指数幂运算的一般原则
1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.
2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.
3底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.
4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
指数函数的图像及应用
【例1】 (1)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
(1)D (2)(0,1) [由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图像是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.]
(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，
则b的取值范围是(0,1)．
[规律方法] 1与指数函数有关的函数图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称、翻折变换得到其图像.
2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.
(1)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是( )
A B C D
(2)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(1)A (2)B [(1)易知f(x)是偶函数，且f(0)＝0，从而排除选项B，C，D，故选A.
(2)作出y＝2 018x及y＝2 019x的图像如图所示，由图可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0时，有2 018a＝2 019b，故③④不可能成立，故选B.]
指数函数的性质及应用
【例2】 (1)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．0.6－1＞0.62
C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＜0.93.1
(2)(2019·承德模拟)若函数f(x)＝ax2＋2x＋3的值域是，则f(x)的递增区间是________．
(3)已知函数f(x)＝x，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.
(1)B (2)(－∞，－1] (3)2 [(1)A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.
B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，
所以0.6－1＞0.62.
C中，因为0.8－1＝1.25，
所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．
因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，
所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.
D中，因为1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.
(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域为，所以g(x)的值域为[2，＋∞)．
因此解得a＝1.
∴g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝x2＋2x＋3，
由于g(x)在(－∞，－1]上是减函数，故f(x)的递增区间为(－∞，－1]．
(3)令g(x)＝＋，则g(－x)＝＋
＝＋＝＋＝－1＋
＝－＋＝－g(x)，即g(x)为奇函数，
∴f(x)＝xg(x)为偶函数，
又f(a)＝2，∴f(－a)＝f(a)＝2.]
[规律方法] 1比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
(1)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，那么a的值为( )
A. B．1
C．3 D.或3
(2)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．
(1)D (2)(－1,2) [(1)令ax＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3.
当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上递增，
则ymax＝2－2＝14，解得a＝.
综上知a＝3或a＝.
(2)∵(m2－m)4x－2x＜0在(－∞，－1]上恒成立，
∴m2－m＜x在(－∞，－1]上恒成立．
由于f(x)＝x在(－∞，－1]上是减函数，且f(x)min＝－1＝2.
故由m2－m＜2得－1＜m＜2.]
