2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第2节　函数的单调性与最值


第二节　函数的单调性与最值
[考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．

1．函数的单调性
(1)增、减函数

增函数
减函数
定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的
(2)单调区间和函数的单调性
①如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．
②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
(3)单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
2．函数的最值
前提
函数y＝f(x)的定义域为D
条件
(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M
(2)对于任意x∈D，都有f(x)≥M
结论
M为最大值
M为最小值

函数单调性的常用结论
(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，＜0⇔f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增加的． (　　)
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　)
(3)函数y＝|x|是R上是增加的． (　　)
(4)函数y＝x2－2x在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y＝x2－2x的单调递增区间为[3，＋∞)． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4,3]上的图像，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)在[－4，－1]上是减少的，在[－1,3]上是增加的
B．f(x)在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2
C．f(x)在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3
D．当直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点时－1＜t＜2
C　[由图像知，函数f(x)在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C．]
3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2　　[可判断函数f(x)＝在[2,6]上是递减的，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]
4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是递减的，则k的取值范围是________．
　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]
5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的增区间为________，f(x)max＝________.
[1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]



确定函数的单调性(区间)


【例1】　(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)　 B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D　[由x2－2x－8>0，得x>4或xf(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A． B．∪(1，＋∞)
C． D.∪
A　[法一：分析f(x)的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化．
∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上是递增的．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔
|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1