2020高考数学文科大一轮复习导学案:第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1
展开第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
知识点一 向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.
2.零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.
3.单位向量:长度等于1个单位的向量.
4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量.规定:0与任一向量共线.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
6.相反向量:长度相等且方向相反的向量.
1.(必修4P78A组第6题)有关向量概念,下列命题中正确的是( D )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
B.模相等的两个平行向量是相等向量
C.若a和b都是单位向量,则a=b
D.两个相等向量的模相等
解析:A.若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定重合;B.模相等的两个平行向量是相等向量是错误的,可以是方向相反的向量;C.若a和b都是单位向量,则模是相等的,但是两个向量不一定相等;D.两个相等向量的模相等是正确的.
知识点二 向量的线性运算
2.D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于( A )
A.-+ B.--
C.- D.+
解析:如图.
3.(必修4P92习题2.2B组第5题改编)在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则四边形ABCD的形状为矩形.
解析:如图,因为+=,-=,
所以||=||.
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,四边形ABCD是矩形.
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
4.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.
5.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.
解析:∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则解得λ=μ=.
1.两个要点
理解向量相关概念时,抓住两个要点:大小、方向.
2.两特殊向量
(1)零向量的方向可任意.
(2)任意方向上都有单位向量.
3.运算法则
两非零向量不共线求和时,两个法则都适用;共线时,只适用三角形法则.
4.两个结论
(1)若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+).
(2)=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
考向一 平面向量的概念
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A.长度相等的向量叫做相等向量
B.共线向量是在同一条直线上的向量
C.零向量的长度等于0
D.∥就是所在的直线平行于所在的直线
(2)下列命题正确的是( )
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若|a|>|b|,则a>b
C.若a=b,则a∥b
D.若|a|=0,则a=0
【解析】 (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故A不正确;方向相同或相反的非零向量叫做共线向量,但共线向量不一定在同一条直线上,故B不正确;显然C正确;当∥时,所在的直线与所在的直线可能重合,故D不正确.
(2)对于A,当|a|=|b|,即向量a,b的模相等时,方向不一定相同,故a=b不一定成立;对于B,向量的模可以比较大小,但向量不可以比较大小,故B不正确;C显然正确;对于D,若|a|=0,则a=0,故D不正确,故选C.
【答案】 (1)C (2)C
1两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小;
2大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征;
3向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.
(1)给出下列命题:
①若a=b,b=c,则a=c;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
其中正确命题的序号是①②.
(2)若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线.
解析:(1)①正确.∵a=b,
∴a,b的长度相等且方向相同,
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
②正确.∵=,∴||=||且∥,
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则∥且||=||,因此,=.
③不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是①②.
考向二 平面向量的线性运算
【例2】 (1)如图所示,在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=( )
A.+
B.-
C.+
D.-
(2)在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则=(+),所以=+=++,所以=,所以=+=+++=+=-,故选B.
(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有S△ABD=S△ABC,又S△ACD=S△ABC,所以S△BCD=S△ABC=S△ABC,所以=.故选B.
【答案】 (1)B (2)B
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.
(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( A )
A.- B.-
C.+ D.+
(2)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,且=x+y,则( D )
A.x=-1,y=- B.x=1,y=
C.x=-1,y= D.x=1,y=-
(3)已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为( D )
A.11 B.12
C.13 D.21
解析:(1)解法1:如图所示,=+=+=×(+)+(-)=-,故选A.
解法2:=-=-=-×(+)=-,故选A.
(2)因为=+=-,
所以x=1,y=-,所以选D.
(3)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB与△AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为12,即CDBD=12,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BDDC=21,所以△AOB与△AOC的面积之比为21.
考向三 共线定理及应用
方向1 判断向量共线
【例3】 (1)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或-
(2)已知平面内一点P及△ABC,若++=,则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部
【解析】 (1)由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].
整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.
由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.
又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.
(2)由++=知:++=-,即:=-2,故点P在线段AC上.
【答案】 (1)B (2)C
方向2 三点共线问题
【例4】 (1)已知数列{an}为等差数列,且满足=a1+a2 017,若=λ(λ∈R),点O为直线BC外一点,则a1 009=( )
A.3 B.2
C.1 D.
(2)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )
A. B.
C.1 D.3
【解析】 (1)∵数列{an}为等差数列,满足=a1+a2 017,其中A,B,C在一条直线上,O为直线AB外一点,∴a1+a2 017=1,
∵数列{an}是等差数列,∴{an}的2a1 009=a1+a2 017=1,a1 009=.
(2)∵=,∴=,
又=m+=m+,
所以m+=1,m=,故选B.
【答案】 (1)D (2)B
1.准确理解共线向量定理
a∥b等价于存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立.
2.共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具
解题过程中常用到结论:“P,A,B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O,总存在非零实数λ,使=λ+(1-λ)成立”.
1.(方向1)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为( D )
A. B.2
C.- D.-2
解析:由题意可知ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
∵ma+4b与a-2b共线,
∴(2m-4)·(-1)=(3m+8)·4.
∴m=-2,故选D.
2.(方向2)在△ABC中,点H是边BC上异于端点B,C的一点,M是AH的中点,=λ+μ,则λ+μ=.
解析:∵点H是边BC上异于端点B,C的一点,∴存在实数t使得=t(0<t<1),∴=+=+t=+t(-)=(1-t)+t.
∵M为AH中点,
∴==+,∴
∴λ+μ=+=.
共线定理的一个有效推广——等和线定理
根据平面向量基本定理,如果,为同一平面内两个不共线的向量,那么这个平面内的任意向量都可以由,唯一线性表示:=x+y.特殊地,如果点C正好在直线AB上,那么x+y=1,反之如果x+y=1,那么点C一定在直线AB上.于是有三点共线结论:已知,为平面内两个不共线的向量,设=x+y,则A,B,C三点共线的充要条件为x+y=1.
共线定理的推广——等和线
以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况,得到了平面向量中的三点共线结论.下面讨论点C不在直线AB上的情况.
如图所示,直线DE∥AB,C为直线DE上任一点,设=x+y(x,y∈R).
1.等和线定义
在向量起点相同的前提下,所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量,其基底的系数和为定值,这样的线,我们称之为“等和线”.
2.相关
(1)当直线DE经过点P时,容易得到x+y=0.
(2)当直线DE不过点P时,直线PC与直线AB的交点记为F,因为点F在直线AB上,所以由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1.由△PAB与△PED相似,知必存在一个常数m∈R,使得=m,则=m=mλ+mμ.
又=x+y(x,y∈R),
所以x+y=mλ+mμ=m.
以上过程可逆.
典例1 如图,在正六边形ABCDEF中,P是△CDE内(包括边界)的动点,设=α+β(α,β∈R),则α+β的取值范围是________.
【解析】 直线BF为m=1的等和线,当P在△CDE内时,直线EC是最近的等和线,过D点的等和线是最远的,所以α+β∈[,]=[3,4].
【答案】 [3,4]
典例2 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点C在以O为圆心的弧AB上变动,若=x+y(x,y∈R),则x+y的最大值是________.
【解析】 所有与直线AB平行的直线中,切线离圆心最远,即此时m取得最大值,结合角度,不难得到mmax=2.
【答案】 2
1.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2∈R),则λ1+λ2的值为.
解析:如图,过点A作=,设AF与BC的延长线交于点H,易知AF=FH,∴DF=BH,因此λ1+λ2=.
2.如图,在扇形OAB中,∠AOB=,C为弧AB上的动点,若=x+y,则x+3y的取值范围是[1,3].
解析:=x+3y(),如图,作=,则考虑以向量,为基底.显然,当C在A点时,经过m=1的等和线,当C在B点时,经过m=3的等和线,这两条线分别是最近与最远的等和线,所以x+3y的取值范围是[1,3].