2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第45讲合情推理与演绎推理

第45讲　合情推理与演绎推理　　　　　　　　　　　 1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异． 知识梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的　部分　对象具有某些特征，推出该类事物的　全部　对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出　一般结论　的推理．归纳推理是由部分到整体、由　个别　到　一般　的推理．(2)类比推理：由两类对象具有　某些类似特征　和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由　特殊　到　特殊　的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过　观察　，　分析　，　比较　，　联想　，再进行　归纳　，　类比　，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)从　一般性　的原理出发，推出某个　特殊情况　 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由　一般　到　特殊　的推理．(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括：  ①大前提——　已知的一般原理　；  ②小前提——　所研究的特殊情况　；  ③结论——　根据一般原理，对特殊情况做出的判断　. 热身练习1．(2015·陕西卷)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，……据此规律，第n个等式为　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋　.　 等式左边是一个和式，先观察其通项：等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.所以第n个等式为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.2．用类比的方法填写下表中的空白：等差数列{an}中等比数列{bn}中a3＝a2＋db3＝b2·qa3＋a4＝a2＋a5b3·b4＝b2·b5a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3　b1·b2·b3·b4·b5＝b　　 类比得：b1·b2·b3·b4·b5＝b.3．如图(1)有面积关系：＝，则由图(2)有体积关系：＝　　.　 平面上的面积可类比到空间上的体积．＝＝.4．(2018·襄城区校级模拟)“所有9的倍数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理是(B)A．不是三段论推理，且结论不正确B．不是三段论推理，但结论正确C．是三段论推理，但小前提错误D．是三段论推理，但大前提错误5．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误　 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．　　　　　　　　　　　   归纳推理(2018·陕西咸阳模拟)观察下列等式：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，……根据以上规律，第n(n∈N*)个不等式是 　　　　　　. 观察不等式，可得：<2＝＝＝，＋<＝＝，＋＋<8＝＝＝，＋＋＋<＝＝，由此可得第n个不等式是：＋＋…＋<. ＋＋…＋< (1)归纳推理是由个别到一般的推理，需要仔细观察特例的结构特征，从中发现一般规律．为了发现规律，有时对特殊情况要进行适当变形．(2)归纳推理的一般步骤是：①对相关资料进行观察、分析、归纳整理；②推出带有规律性的结论(猜想)；③检验猜想．1．(2016·山东卷)观察下列等式：(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；……照此规律，(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝　n(n＋1)　. 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．  类比推理(2018·陕西西安月考)已知△ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r，则S△ABC＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，则三棱锥体积VA－BCD＝_______________________. 类比面积公式S△ABC＝r(a＋b＋c)的推导方法，以四面体内切球球心向四个顶点引直线将四面体分成四个三棱锥，它们分别以四个面为底面，内切球半径R为高，所以VA－BCD＝R(S1＋S2＋S3＋S4)． R(S1＋S2＋S3＋S4) (1)类比推理不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比．(2)类比推理的一般步骤是：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征(猜想)；③检验猜想．2．在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S－ABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体S－ABC的外接球半径R＝　　.　　 类比△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝的推导方法——构造长方形．由此可将四面体S－ABC构造出长方体，由对角截面性质可知，球的直径等于长方体的体对角线长，即2R＝，故R＝.  合情推理与演绎推理(2018·河北诊断)观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，……请归纳出一个一般结论，并加以证明． 观察这些等式，第一个式子左边从1开始，1个数，右边是12；第二个式子左边从2开始，3个数相加，右边是32；第三个式子左边从3开始，5个数相加，右边是52；由此归纳出：第n个式子左边从n开始，2n－1个数相加，右边是(2n－1)2；第n个式子左边是首项为n，公差为1，项数为2n－1的等差数列的和，第2n－1个数为n＋(2n－1－1)×1＝3n－2.故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.下面进行证明：证明：等式左边是(2n－1)个数的和，且这(2n－1)个构成等差数列，其首项为n，公差为1，根据等差数列求和公式得n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝＝(2n－1)2. (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜测的结论都要经过进一步的严格证明．(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．(1)求证：tan(x＋)＝.(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论． (1)证明：tan(x＋)＝＝.(2)f(x)是以4为其一个周期的周期函数．因为f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝＝－，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)．所以f(x)是周期函数，且其中一个周期为4.1．归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越大．2．类比的关键是能把两类对象之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．3．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．