2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第43讲简单的线性规划问题

第43讲　简单的线性规划问题

1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

知识梳理

1．二元一次不等式(组)表示平面区域

(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C＝0　某一侧所有点　组成的平面区域．

(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的　交集　，即各个不等式所表示的平面区域的　公共部分　.

(3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用　直线　定界，　特殊点　定“域”．

2．线性规划的有关概念

(1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式组；

(2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式；

(3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的　最大值或最小值　问题，称为线性规划问题．

(4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做　可行　解，由所有　可行　解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做　最优　解．

3．利用线性规划求最值的一般步骤：

(1)根据线性约束条件画出可行域；

(2)设z＝0，画出直线l0；

(3)观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；

(4)求出目标函数的最大值或最小值．

热身练习

1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是(C)

A．(0,0)   B．(－1,1)

C．(－1,3)  D．(2，－1)

　 将上述各点代入不等式检验，若满足不等式，则点在所表示的平面区域内，否则，不在．

因为(0,0)，(－1,1)，(2，－1)都满足不等式，所以这些点都在所表示的平面区域内，而

(－1,3)不满足不等式，故选C.

2．如图所示，不等式2x－y＜0表示的平面区域是(B)

　 直线定界，因为2x－y＝0不经过(2,1)点排除D,2x－y<0不包括边界，排除A，再取特殊点(1,0)代入得2－0>0，故(1,0)不在2x－y<0表示的区域内，故排除C，选B.

3．不等式组所表示的平面区域的面积等于(C)

A.  B.

C.  D.

　 不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，作出不等式组表示的平面区域如右图：

所以S阴＝××1＝.

4．目标函数z＝x＋2y，将其看成直线方程时，z的意义是(C)

A．该直线的截距  B．该直线的纵截距

C．该直线纵截距的2倍  D．该直线纵截距的

　 将z＝x＋2y化为y＝－x＋，可知z＝2b，表示该直线的纵截距的2倍．

5．(2015·北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为　7　.

　 把z＝2x＋3y变形为y＝－x＋z，通过平移直线y＝－x知，当过点A(2,1)时，z＝2x＋3y取得最大值且zmax＝2×2＋3×1＝7.

 求线性目标函数的最值

(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为______．

作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．

由z＝3x＋2y得y＝－x＋.

作直线l0：y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋

过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.

6

(1)对线性目标函数z＝Ax＋By中的B的符号一定要注意．当B＞0时，当直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当B＜0时，当直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．

(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察结果就可能有误．

1．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件

则z＝x－y的取值范围是(B)

A．[－3,0]  B．[－3,2]

C．[0,2]  D．[0,3]

画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.

所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．

 求非线性目标函数的最值

若x，y满足约束条件则的最大值为____________．

画出可行域如图阴影所示，

因为表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，

所以在点A处时，最大．

由得所以A(1,3)．

所以的最大值为3.

3

求非线性目标函数的最值问题，关键是从目标函数联想到相对应的几何意义，常见的是两点连线的斜率和两点间的距离，在此基础上再利用数形结合的思想方法进行求解．

2．(2016·山东卷)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(C)

A．4  B．9

C．10  D．12

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，

由得A(3，－1)，

由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.

 线性规划在实际问题中的应用

某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为

A．12万元  B．16万元

C．17万元  D．18万元

设出甲、乙两种产品的数量，列出关系式，转化为线性规划问题，画出可行域求解．

设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，

作出可行域如图阴影部分所示，

由图可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.

D

建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：

①设出所求未知数；②列出约束条件(即不等式组)；③建立目标函数；④作出可行域；⑤运用图象法求出最优解．

3．(2016·全国卷Ⅰ·理)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　216 000　元．

设生产产品Ax件，产品By件，则

画出可行域，如图：

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．

当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．

1．画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，是它们平面区域的公共部分．

2．对线性目标函数z＝Ax＋By中的B的符号一定要注意．当B＞0时，当直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当B＜0时，当直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．

3．常见目标函数有截距型(ax＋by＝z)，距离型(z＝)，斜率型(z＝)几种．

4．最优解一般在可行域的顶点处或边界取得，要注意边界的虚实．此外解选择、填空题常常可先求可行域的顶点，再代入目标函数验算．

5．建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：

(1)明确问题中的有待确定的未知量，并用数学符号表示；

(2)明确问题中所有的限制(约束)条件，并用线性方程或线性不等式表示；

(3)明确问题的目标，并用线性函数(目标函数)表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．

其中分析题目的已知条件准确找出约束条件和目标函数是关键，可以把题目涉及的量分类列出，理清思路，然后列出不等式(或方程组)确定约束条件和目标函数．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处取得最优解．