2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第11讲　幂函数

第11讲　幂函数

1．了解幂函数的概念．

2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．

3．能解决与幂函数有关的一些简单问题．

知识梳理

1．幂函数的定义

一般地，函数　y＝xα(α为常数)　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．幂函数的图象比较

1．   幂函数y＝xα的性质

1．幂函数y＝xα(α≠0,1)在第一象限的图象有以下三种形式：

2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的定义域及奇偶性．

幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

热身练习

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝　　.

　 由幂函数的定义得k＝1，再将(，)代入f(x)＝xα，得()α＝＝()，所以α＝，故k＋α＝.

2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(A)

A．1,3  B．－1,1

C．－1,3  D.，1,3

　 y＝x－1的定义域为{x|x≠0}，y＝的定义域为{x|x≥0}，所以B，C，D均可排除，选A.

3．(经典真题)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(C)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

　 由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，

所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．

因此“x>1”是“x3>1”的充要条件．

4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(A)

A．y＝x－2  B．y＝x－1

C．y＝x2  D．y＝

　 y＝x－2和y＝x2是偶函数，由幂函数的图象可知，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，选A.

5．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝，b＝，c＝，则(A)

A．b<a<c  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

　 a＝＝，b＝，c＝＝.

因为y＝在第一象限内为增函数，

又5>4>3，所以c>a>b.

 幂函数的概念

(2018·抚顺期末)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)

A．4  B．－1

C．2  D．－1或4

因为f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数，

所以解得m＝4.

A

幂函数和指数函数、对数函数一样，是一种“形式”定义，它满足如下特征：

(1)以幂的底为自变量，指数为常数；

(2)xα前的系数为1，xα后面不加任何项．

1．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(A)

A．m＝2  B．m＝－1

C．m＝－1或m＝2  D．m≠

因为幂函数x的系数为1，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，则α<0，

所以解得m＝2.

 比较大小

(2018·保定模拟)下列选项正确的是(　　)

A．0.20.2>0.30.2  B．<

C．0.8－0.1>1.250.2  D．1.70.3>0.93.1

选项A中，因为函数y＝x0.2在(0，＋∞)上为增函数，

又0.2<0.3，所以0.20.2<0.30.2.

选项B中，因为函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，

又2<3，所以>.

选项C中，0.8－1＝1.25，y＝1.25x在R上是增函数，

0．1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.

选项D中，1.70.3>1,0.93.1<1.

所以1.70.3>0.93.1.

D

比较指数式大小的方法：

①当底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；

②当指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小；

③当底数和指数都不同时，常常借助中间量，如“0”“1”等进行比较．

2．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>0,0<c<1，则(B)

A．logac<logbc  B．logca<logcb

C．ac<bc  D．ca>cb

根据式子的特征，构造函数并利用其单调性进行比较．

对于选项A，logac＝，logbc＝，因为0<c<1，所以lg c<0.而a>b>0，所以lg a>lg b，但不能确定lg a，lg b的正负，所以logac与logbc的大小不能确定．

对于选项B，logca＝，logcb＝，而lg a>lg b，两边同乘一个负数，不等号方向改变，所以logca<logcb，所以选项B正确．

对于选项C，利用y＝xc(0<c<1)在第一象限内是增函数，可得ac>bc，所以选项C错误．

对于选项D，利用y＝cx(0<c<1)在R上为减函数，可得ca<cb，所以选项D错误，故选B.

 幂函数的图象和性质的应用

若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上，定义h(x)＝试求函数h(x)的最大值以及单调区间．

设f(x)＝xα，因为点(，2)在f(x)的图象上，

所以()α＝2，所以α＝2，所以f(x)＝x2；

又设g(x)＝xβ，因为点(2，)在g(x)的图象上，

所以2β＝，所以β＝－1，所以g(x)＝x－1.

在同一坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示(其中粗线表示h(x)的图象)：

则有h(x)＝

根据图象可知h(x)的最大值等于1，单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．

本题在两个函数f(x)与g(x)的基础上定义了一个新的函数h(x)，求解的关键是理解h(x)的意义，由定义可知h(x)是取f(x)和g(x)中的较小者．作出图象即可得到其最值和单调区间．

3．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：

(1)f(x)>g(x)；

(2)f(x)＝g(x)；

(3)f(x)<g(x)．

设f(x)＝xα，则由题意得2＝()α，

所以α＝2，即f(x)＝x2.

再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，所以β＝－2.

即g(x)＝x－2.

在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．

由图象可知：

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；　　(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1<x<1，且x≠0时，f(x)<g(x)．

1．幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，因此，重点要求掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x这五种幂函数的图象和性质．

2．幂函数y＝xα(α为常数)的定义域是使解析式有意义的自变量x的取值范围．当α为分数指数幂时，常常将其改写成根式形式，再根据根式有意义，得出其定义域．

对幂函数的研究，关键是掌握第一象限的图象和性质，在此基础上，进而通过定义域的研究确定y轴左侧是不是有图象，通过对奇偶性的研究，确定在y轴左侧的图象和性质．

3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征：

(1)α的正负：α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；α<0的图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”．

(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹．

 4.幂函数的主要应用有：比较大小、解不等式、求参数的范围等，要注意以幂函数为载体和其他知识结合的综合问题的处理．