2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章第八节　函数与方程 学案

第八节　函数与方程
2019考纲考题考情




1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点。
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点。
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象



与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0


1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点。函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根。
2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件。
3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点。

一、走进教材
1．(必修1P92A组T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
解析　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点。故选B。
答案　B
2．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3
解析　由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点。故选B。
答案　B
二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－　　　B. C.　　　D．1
解析　令f(x)＝0，则x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，则g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，当g′(x)＝0时，x＝1，故当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数h(x)取得最小值－1，若－a<0，h(1)＝－ag(1)时，此时函数h(x)和－ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝。故选C。

解析：f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f(x)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，而f(x)有唯一的零点，则f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝－1＋2a＝0，解得a＝。故选C。

答案　C
三、走出误区
微提醒：①不解方程确定函数零点出错；②不加区分有无区间限定的零点问题致错。
4．函数f(x)＝x＋的零点个数是________。
解析　函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点。
答案　0
5．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________。
解析　Δ＝k2－4k<0，解得0 答案　(0,4)
6．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________。
解析　二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1。若在区间(0,4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8 答案　(－8,1]

考点一 函数零点的判断与求解微点小专题
方向1：判断零点所在的区间
【例1】　(1)已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝lnx－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
(2)设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________。
解析　(1)由函数f(x)＝为奇函数，可得a＝0，则g(x)＝lnx－2f(x)＝lnx－，所以g(2)＝ln2－1<0，g(3)＝ln3－>0，所以g(2)·g(3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。故选C。
(2)设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝x－2的图象如图所示。因为f(1)＝1－－1＝－1<0，f(2)＝8－0＝7>0，所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1,2)。

答案　(1)C　(2)(1,2)

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
1．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0。若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。
2．数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。
方向2：确定函数零点个数
【例2】　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3　　　　B．2 C．1　　　　D．0
(2)(2019·天津河东模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3
解析　(1)由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e。因此函数f(x)共有2个零点。故选B。

解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点。故选B。


(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的图象，如图所示。由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2。故选C。

答案　(1)B　(2)C

函数零点个数的判断方法
1．直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点。
2．零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数。
3．利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数。
【题点对应练】　
1．(方向1)函数f(x)＝lnx＋x－－2的零点所在的区间是(　　)
A. B．(1,2)
C．(2，e) D．(e,3)
解析　易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln2－<0，f(e)＝＋e－－2>0。所以f(2)f(e)<0，故f(x)的零点在区间(2，e)内。故选C。
答案　C
2．(方向2)设函数f(x)＝lnx－2x＋6，则f(x)零点的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析　函数f(x)＝lnx－2x＋6的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2＝，令f′(x)＝0，得x＝，当00，当x>时，f′(x)<0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减。因为f＝－4－<0，f＝5－ln2>0，f(e2)＝8－2e2<0，所以函数f(x)在，上各有一个零点，所以函数f(x)的零点个数为2。故选B。

解析：令f(x)＝0，则lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx(x>0)，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B。


答案　B
考点二 函数零点的应用微点小专题
方向1：已知函数零点的个数，求参数取值范围
【例3】　若函数f(x)＝ax－x2(a>1)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________。
解析　令f(x)＝ax－x2＝0，可得ax＝x2。①当x<0时，函数y＝ax与y＝x2的图象有一个交点；②当x>0时，两边同时取自然对数得xlna＝2lnx，即lna＝，由题意得函数y＝lna与g(x)＝的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，g′(x)＝，令g′(x)>0，解得0e，则g(x)在(e，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(e)＝，当x→＋∞时，g(x)→0且g(x)>0，当x→0时，g(x)→－∞，则有0 答案　

求解本题的关键在于底数与指数都含有自变量时，需两边同时取自然对数，构造新的函数。该题考查了数形结合的转化能力及把陌生问题熟悉化的逻辑推理能力。
方向2：存在与不存在零点问题
【例4】　若函数f(x)＝－ln(x＋1)不存在零点，则实数k的取值范围是________。
解析　由题意可知当k>0时，得x>0；当k<0时，得－10时，k＝x＋＋2≥4(x＝1时，取“＝”)，又k>0，得k≥4；当－1 答案　(0,4)

本题考查函数的零点问题及对数函数的性质，将函数的零点问题转化为不等式问题，再利用基本不等式解决。
【题点对应练】　
1．(方向1)若函数f(x)＝有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－4,0) B．(－∞，0]
C．(－4,0] D．(－∞，0)
解析　x>0时，x＝1为f(x)的零点，x≤0时， x＝0为f(x)的零点，故x<0，不能再有其他零点，即＝kx2(x<0)无解，等价于＝kx(x<0)无解，画出y＝(x<0)，y＝kx(x<0)的图象如图，可得k≤0。故选B。
答案　B
2．(方向1)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ是________。
解析　令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－。
答案　－
3．(方向2)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________。
解析　因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解。方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，因为x∈[－1,1]，所以2x∈，所以2－∈。所以实数a的取值范围是。
答案　

1．(配合例1使用)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0 答案　C
2．(配合例2使用)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)等于(　　)
A．1　　　 　B．2 C．3　　　 　D．4
解析　当x>0时，f′(x)＝＋>0，则f(x)为(0，＋∞)上的增函数，又f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－＝1－>0，所以函数f(x)＝lnx－的零点x0满足2 答案　B
3．(配合例3使用)函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________。
解析　设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)。在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)。当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点。设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)且t1<－1，t2≥－1，当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解。综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点。

答案　[－1，＋∞)
4．(拓展型)设函数f(x)＝ex＋sinx，g(x)＝x。若存在x1，x2∈[0，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)成立，则x2－x1的最小值是________。
解析　设x2－x1＝t，由f(x1)＝g(x2)得x2＝2(ex1＋sinx1)＝x1＋t，所以t＝2(ex1＋sinx1)－x1，所以x2－x1的最小值即函数F(x)＝2(ex＋sinx)－x在[0，＋∞)上的最小值。因为F′(x)＝2ex＋2cosx－1(x≥0)，所以令φ(x)＝2ex＋2cosx－1(x≥0)，则φ′(x)＝2(ex－sinx)>0，所以函数F′(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而F′(x)≥F′(0)＝2＋2－1＝3>0，所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以F(x)≥F(0)＝2，故x2－x1的最小值为2。
答案　2


类型一 基本初等函数的图象识别法
1.特殊点法
【例1】　函数f (x)＝x2－x的大致图象是(　　)

　A　　　　B　　　　　C　　　　　D
解析　选用函数图象经过的几个特殊点验证排除。由f (0)＝－1，得函数图象过点(0，－1)，可排除D，由f (－2)＝4－4＝0，f (－4)＝16－16＝0，得函数图象过点(－2,0)，(－4,0)，可排除A，C。故选B。
答案　B

使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案。
【变式训练】　函数y＝sinx的图象大致是(　　)

　　　　 A　　　　　　　　　　B

　　　 　C　　　　　　　　　　D
解析　当x＝1时，y＝0，即函数图象过点(1,0)，由选项中图象可知，只有D符合。故选D。
答案　D
2．性质检验法
【例2】　(2019·福州质检)函数f (x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的大致图象为(　　)

　 A　　　　 　B　　　 　　C　　　　　D
解析　利用函数的奇偶性与函数图象的极限位置，即可筛选出正确的选项。因为f (－x)＝x2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，排除C；因为x→e时，f (x)→－∞，排除B、D。故选A。
答案　A


破解此类题的关键是：一是利用解析式，判断函数的奇偶性，再根据奇函数或偶函数图象的对称性，可排除错误的选项；二是利用特值法或极限思想，排除错误的选项。
【变式训练】　函数y＝的部分图象大致为(　　)

　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
解析　令f (x)＝，则f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B、C。当x>1时，y＝＝，显然y>0且函数单调递减。故选D。
答案　D
3．图象变换法
【例3】　已知定义域为R的函数f (x)满足f (x)＝－f (x－1)，则函数f (x)在(－1,1]上的图象可能是(　　)

　 　　　　　　 A　　　　　　　 B

　 　　　　　　C　　　　　　 　D
解析　由函数y＝f (x)满足f (x)＝－f (x－1)可知，把y＝f (x)在(－1,0)上的图象向右平移一个单位长度，再把所得的图象关于x轴做对称变换，得到y＝f (x)在(0,1)上的图象，可排除A，B，D。故选C。
答案　C

通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；二是了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换。
【变式训练】　已知函数f (x)＝logax(0
　　　　　 A　　　　　　　　B

　　　　　 C　　　　　　 　　D
解析　由题意，x＝0，y＝f (1)＝0，排除C、D。x＝1，y＝f (2)<0，排除B。故选A。
答案　A
类型二 基本初等函数的性质应用
1.幂、指、对数函数的比较大小
【例4】　将下列各数按从大到小的顺序排列：log89，log79，log3，，3，π。
解　＝(－log29)2＝log9，
在同一坐标系内作出y＝log8x，y＝log7x，y＝log2x的图象如图所示，当x＝9时，由图象知log29>log79>log89>1＝log88，所以log9>log79>log89>1。

即>log79>log89>1。
因为y＝x在R上是减函数，
所以1>3>π>0。又log3<0，
综上：>log79>log89>3>π>log3。


本题综合考查了指数函数与对数的图象与性质，并且结合插值法顺利得到结果。
【变式训练】　已知x1＝log2，x2＝2，x3满足x3＝log3x3，则(　　)
A．x1 C．x2 解析　由题意可知x3是函数y1＝x与y2＝log3x的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y1＝x与y2＝log3x的图象，如图所示，由图象可知x3>1，而x1＝log2<0,0x2>x1。故选A。

答案　A
2．利用基本初等函数的性质求自变量的值或范围
【例5】　(2019·福州质检)设函数f (x)＝则满足不等式f (x2－2)>f (x)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
解析　因为当x>0时，函数f (x)单调递增，当x≤0时，f (x)＝0，所以由f (x2－2)>f (x)，得或解得x>2或x<－，所以x的取值范围是(－∞，－)∪(2，＋∞)。故选C。

解析：取x＝2，则f (22－2)＝f (2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f ((－1.1)2－2)＝f (－0.79)＝0＝f (－1.1)，所以x＝－1.1不满足题意，排除A。故选C。

答案　C


破解此类题的关键：一是活用函数的性质，如本题中利用了函数的单调性；二是利用转化思想，把原不等式转化为关于自变量的不等式组，解不等式组，即可得自变量的取值范围。若能灵活应用特值法，则可加快解题的速度。
【变式训练】　(2019·安徽名校联考)已知函数y＝g(x)满足g(x＋2)＝－g(x)，若y＝f (x)在(－2,0)∪(0,2)上为偶函数，且其解析式为f (x)＝则g(－2 017)的值为(　　)
A．－1　　　 B．0
C．　　　 D．－
解析　因为函数y＝g(x)满足g(x＋2)＝－g(x)，所以g(x＋4)＝－g(x＋2)＝－(－g(x))＝g(x)，所以4是函数g(x)的周期，所以g(－2 017)＝g(－504×4－1)＝g(－1)＝f (－1)＝f (1)＝log21＝0。故选B。
答案　B
类型三 复合函数的零点问题
【例6】　(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x)＝，若关于x的方程[f (x)]2＋mf (x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)∪(2，＋∞) B．
C． D．(1，e)
解析　因为f ′(x)＝＝，所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f (x)max＝f (1)＝，且当x→－∞时，f (x)→－∞，当x→＋∞时，f (x)→0，且f (x)>0，由此可作出函数t＝f (x)的简图，如图所示。令t＝f (x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1，令g(t)＝0，得t＝－1或t＝1－m。要使原方程有3个不同的实数解，须t＝1－m与t＝f (x)的图象有两个交点，故0<1－m<，所以1－
答案　C


本题旨在考查复合函数的零点、函数的图象与性质、数形结合思想和化归思想的应用等知识。解复合函数零点的步骤：①换元，令t＝f (x)，y＝g(t)，f (x)为“内函数”，g(t)为“外函数”；②作图，作“外函数”y＝g(t)的图象与“内函数”t＝f (x)的图象；③观察图象进行分析。
【变式训练】　已知函数f (x)＝ex＋e2－x，若关于x的不等式[f (x)]2－af (x)≤0恰有3个整数解，则实数a的最小值为(　　)
A．1 B．2e
C．e2＋1 D．e3＋
解析　因为f (x)＝ex＋e2－x>0，所以由[f (x)]2－af (x)≤0可得00)，画出函数g(t)的大致图象，如图所示，结合图象分析易知原不等式有3个整数解可转化为0
答案　C