2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章第十节　变化率与导数、导数的计算 学案

第十节　变化率与导数、导数的计算

2019考纲考题考情

1．导数的概念

(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率＝ 为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或

y′X=x0，即f ′(x0)＝ ＝ 。

(2)导数的几何意义

函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f (x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为y－y0＝f ′(x0)·(x－x0)。

(3)函数f (x)的导函数

称函数f ′(x)＝ 为f (x)的导函数。

2．导数公式及运算法则

(1)基本初等函数的导数公式

续表

　　(2)导数的运算法则

①[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)。

②[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)。

③′＝(g(x)≠0)。

1．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cosx)′＝sinx。

2．f ′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值；(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，且(f (x0))′＝0。

3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点。

4．函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。

一、走进教材

1．(选修1－1P86B组T1改编)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)

A．－9   B．－3

C．9   D．15

解析　因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)。令x＝0，得y＝9。故选C。

答案　C

2．(选修1－1P80B组T1改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝_______m/s，加速度a＝________m/s2。

解析　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8。

答案　－9.8t＋6.5　－9.8

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________。

解析　由y＝f (x)＝2lnx，得f ′(x)＝，则曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线的斜率为k＝f ′(1)＝2，则所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2。

答案　y＝2x－2

4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________。

解析　因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为k＝y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1。

答案　y＝x＋1

三、走出误区

微提醒：①混淆平均变化率与导数的区别；②不用方程法解导数求值；③导数的运算法则运用不正确。

5．函数f (x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________。

解析　函数f (x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3。因为f ′(x)＝2x，所以f (x)在x＝2处的导数为2×2＝4。

答案　3　4

6．已知f (x)＝x2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________。

解析　因为f ′(x)＝2x＋3f ′(2)，令x＝2，得f ′(2)＝－2，所以f (x)＝x2－6x，所以f (2)＝－8。

答案　－8

7．已知f (x)＝x3，则f ′(2x＋3)＝________。

解析　f ′(x)＝3x2，所以f ′(2x＋3)＝3(2x＋3)2。

答案　3(2x＋3)2

考点一  　导数的运算微点小专题　　　　　　　　　

方向1：已知函数解析式求函数的导数

【例1】　求下列各函数的导数：

(1)y＝x；(2)y＝tanx；

(3)y＝2sin2－1。

解　(1)先变形：y＝x，

再求导：y′＝′＝x。

(2)先变形：y＝，再求导：

y′＝′＝＝。

(3)先变形：y＝－cosx，

再求导：y′＝－(cosx)′＝－(－sinx)＝sinx。

1．正确运用导数公式。

2．求导之前先对函数进行化简减小运算量。

方向2：抽象函数求导

【例2】　已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f (x)＝x2＋3xf ′(2)＋lnx，则f ′(2)＝________。

解析　因为f (x)＝x2＋3xf ′(2)＋lnx，所以f ′(x)＝2x＋3f ′(2)＋，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋＝3f ′(2)＋，所以f ′(2)＝－。

答案　－

先对函数求导，再赋值，如本题先求导，再令x＝2，即可求f ′(2)。

【题点对应练】　

1．(方向1)已知函数f (x)＝exlnx，f ′(x)为f (x)的导函数，则f ′(1)的值为________。

解析　由题意得f ′(x)＝exlnx＋ex·，则f ′(1)＝e。

答案　e

2．(方向2)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f (x)＝2xf ′(1)＋lnx，则f ′(1)＝(　　)

A．－e   B．－1

C．1   D．e

解析　由f (x)＝2xf ′(1)＋lnx，得f ′(x)＝2f ′(1)＋。所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1。故选B。

答案　B

考点二  导数的几何意义微点小专题

方向1：已知切点求切线方程

【例3】　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax。若f (x)为奇函数，则曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x   B．y＝－x

C．y＝2x   D．y＝x

解析　因为函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x。故选D。

解法一：因为函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以(－1＋a－1－a)＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f (x)＝x3＋x，经检验符合题意，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x。故选D。

解法二：易知f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f (x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x。故选D。

答案　D

解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x0，y0)处的切线的斜率k＝f ′(x0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解。解决这类问题的关键是抓住切点。

方向2：未知切点，求切线方程

【例4】　曲线f (x)＝x3－2x2＋2过点P(2,0)的切线方程为______________。

解析　因为f (2)＝23－2×22＋2＝2≠0，所以点P(2,0)不在曲线f (x)＝x3－2x2＋2上。设切点坐标为(x0，y0)，且≤x0≤，则所以消去y0，整理得(x0－1) (x－3x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝(舍去)或x0＝(舍去)，所以y0＝1，f ′(x0)＝－1，所以所求的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2。

答案　y＝－x＋2

求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标满足的方程解出切点坐标，进而写出切线方程。

方向3：求参数的值或取值范围

【例5】　(2019·南京调研)若函数f (x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行或重合的切线，则实数a的取值范围是________。

解析　函数f (x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行或重合的切线，即f ′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x)＝＋a，故＋a＝2，即a＝2－在(0，＋∞)上有解，因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)。

答案　(－∞，2)

利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围。

【题点对应练】　

1．(方向1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于(　　)

A．2   B．－1

C．1   D．－2

解析　依题意知，y′＝3x2＋a，则解得所以2a＋b＝1。故选C。

答案　C

2．(方向2)已知函数f (x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f (x)相切，则直线l的方程为(　　)

A．x＋y－1＝0   B．x－y－1＝0

C．x＋y＋1＝0   D．x－y＋1＝0

解析　因为点(0，－1)不在曲线y＝f (x)上，所以设切点坐标为(x0，y0)。又因为f ′(x)＝1＋lnx，所以解得所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln1＝1，所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0。故选B。

答案　B

3．(方向3)若曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则实数a＝(　　)

A．－2   B．

C．1   D．2

解析　y＝x2的导数为y′＝，在点P(s，t)处的切线斜率为，y＝alnx的导数为y′＝，在点P(s，t)处的切线斜率为，由题意知，＝，且s2＝alns，解得lns＝，s2＝e，故a＝1。故选C。

答案　C

混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误

【典例】　若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值。

【错解】　因为点(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上，

所以点O为切点，

因为y′＝3x2－6x＋2，所以y′|x＝0＝2，

所以直线l的方程为y＝2x，

由得x2－2x＋a＝0，

依题意知Δ＝4－4a＝0，故a＝1。

【剖析】　求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况。

【正解】　易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上。

(1)当O(0,0)是切点时，

由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，

即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x。

由得x2－2x＋a＝0，

依题意，Δ＝4－4a＝0，得a＝1。

(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，

则y0＝x－3x＋2x0，

k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2，①

又k＝＝x－3x0＋2，②

联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，

故直线l的方程为y＝－x。

由得x2＋x＋a＝0，

依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝。

综上，a＝1或a＝。