2020-2021学年河南省郑州市京广实验学校九年级（上）第二次学习比赛数学试卷 解析版

2020-2021学年河南省郑州市京广实验学校九年级（上）第二次学习比赛数学试卷
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．xy＝
2．（3分）将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）如图，DE∥BC，下列各式不正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（3分）在“众志成城，共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中，小晴和小霞分别从“A，B，C三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．15 B．12 C．9 D．6
6．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（　　）

A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+＝4704 D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
7．（3分）若点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
8．（3分）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②＝；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
④BE2+DC2＝DE2⑤BE+DC＝DE
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．③④⑤ C．①③④ D．①③⑤
二.填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如果＝＝，其中b+2d≠0，那么＝　 　．
12．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+10x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是　 　．
13．（3分）反比例函数y1，y2在第一象限的图象如图，已知y1＝，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，若S△AOB＝，则y2的表达式是　 　．

14．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，△ABE的面积与△DBE的面积之比是1：3，且AF＝2，则FC＝　 　．

15．（3分）如图，矩形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，以AE为对称轴折叠△AEB，得到△AEB′，点B的对称点为点B′，若AB＝5，BC＝3，当点B′落在射线CD上时，线段BE的长为　 　．

三.解答题（共8大题，共75分）
16．（8分）先化简，在求值：，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
17．（9分）某中学九（5）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（5）班的学生人数为　 　，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中n＝　 　，m＝　 　；
（3）排球兴趣小组4名学生中有2男2女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是一男一女的概率．

18．（9分）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y＝的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）连接OC、OD，求S△OCD；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集　 　．

20．（9分）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）填空：
①当AB＝AC时，四边形ADCF是　 　形；
②当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是　 　形．

21．（9分）某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
请结合以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润＝零售单价﹣进货单价）

22．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
23．（12分）如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现
如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB的度数为　 　，线段AE、BE、CE之间的数量关系是　 　；
（2）拓展探究
如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．


2020-2021学年河南省郑州市京广实验学校九年级（上）第二次学习比赛数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．xy＝
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，可得答案．
【解答】解：A、y＝是反比例函数，故A不符合题意；
B、y＝是正比例函数，故B符合题意；
C、y＝是反比例函数，故C不符合题意；
D、xy＝是反比例函数，故D不符合题意．
故选：B．
2．（3分）将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C．
3．（3分）如图，DE∥BC，下列各式不正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
＝，＝，＝，
∴选项A，B，D正确，
故选：C．
4．（3分）在“众志成城，共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中，小晴和小霞分别从“A，B，C三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
∴两人恰好选择同一社区的概率＝＝．
故选：A．
5．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，
∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，
∴△OBC≌△OB1C1，
∴＝＝，
∴＝（）2，
∵S＝3，
∴△ABC的面积＝3×4＝12，
故选：B．
6．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（　　）

A．5000﹣150x＝4704 B．5000﹣150x﹣x2＝4704
C．5000﹣150x+＝4704 D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704
【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，
故选：D．
7．（3分）若点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】利用反比例函数的增减性解决问题．
【解答】解：∵点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，
∴（﹣3，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（2，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
8．（3分）一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分k＞0及k＜0两种情况考虑，根据一次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y＝的图象在一、三象限，
当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象在二、四象限，
∴A、C、D不符合题意，B符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．
【解答】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；

D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；

故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②＝；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
④BE2+DC2＝DE2⑤BE+DC＝DE
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．③④⑤ C．①③④ D．①③⑤
【分析】①根据旋转的性质知∠CAD＝∠BAF，AD＝AF，因为∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，所以∠CAD+∠BAE＝45°，可得∠EAF＝45°＝∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；
②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；
③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
④据①知BF＝CD，EF＝DE，∠FBE＝90°，根据勾股定理判断．
⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD＝BF，DE＝EF；由此即可确定该说法是否正确；
【解答】解：①根据旋转的性质知∠CAD＝∠BAF，AD＝AF，
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠CAD+∠BAE＝45°．
∴∠EAF＝45°，
∴△AED≌△AEF；
故本选项正确；

②∵AB＝AC，
∴∠ABE＝∠ACD；
∴当∠BAE＝∠CAD时，
△ABE∽△ACD，
∴＝；
当∠BAE≠∠CAD时，
△ABE与△ACD不相似，即≠；
∴此比例式不一定成立；
故本选项错误；

③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ABF＝S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
故本选项正确；

④∵∠FBE＝45°+45°＝90°，
∴BE2+BF2＝EF2，
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF＝CD，
又∵EF＝DE，
∴BE2+DC2＝DE2，
故本选项正确；

⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD＝BF，DE＝EF，
∴BE+DC＝BE+BF＞DE＝EF，即BE+DC＞DE，
故本选项错误；
综上所述，正确的说法是①③④；
故选：C．

二.填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如果＝＝，其中b+2d≠0，那么＝　　．
【分析】根据已知条件得出＝＝，再根据b+2d≠0，即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝，
∴＝＝，
∵b+2d≠0，
∴＝；
故答案为：．
12．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+10x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是　﹣10　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣10，x1x2＝﹣1，
∴（x1+1）（x2+1）＝（x1+x2）+x1•x2+1＝﹣10﹣1+1＝﹣10，
故答案为：﹣10．
13．（3分）反比例函数y1，y2在第一象限的图象如图，已知y1＝，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，若S△AOB＝，则y2的表达式是　y2＝　．

【分析】设y2的表达式为y2＝，利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝×4＝2，S△BOC＝k，利用面积法得到k﹣2＝，然后求出得到y2的表达式．
【解答】解：设y2的表达式为y2＝，
∵BC∥x轴，
∴S△AOC＝×4＝2，S△BOC＝k，
∵S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB，
∴k﹣2＝，
∴k＝5，
∴y2的表达式为y2＝．
故答案为y2＝．
14．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，△ABE的面积与△DBE的面积之比是1：3，且AF＝2，则FC＝　12　．

【分析】作DH∥BF交AC于H，证出FH＝HC，根据三角形面积关系得＝，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，则＝，进而得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵DH∥BF，
∴FH＝HC，
∵△ABE的面积与△DBE的面积之比是1：3，
∴＝，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴＝，
∴FC＝6AF＝6×2＝12；
故答案为：12．

15．（3分）如图，矩形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，以AE为对称轴折叠△AEB，得到△AEB′，点B的对称点为点B′，若AB＝5，BC＝3，当点B′落在射线CD上时，线段BE的长为　或15　．

【分析】如图1，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝5，B′E＝BE，根据勾股定理得到BE2＝（3﹣BE）2+12，于是得到BE＝，如图2，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝5，求得AB＝BF＝5，根据勾股定理得到CF＝4根据相似三角形的性质列方程得到CE＝12，即可得到结论．
【解答】解：如图1，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，
∴AB′＝AB＝5，B′E＝BE，
∴CE＝3﹣BE，
∵AD＝3，
∴DB′＝4，
∴B′C＝1，
∵B′E2＝CE2+B′C2，
∴BE2＝（3﹣BE）2+12，
∴BE＝，
如图2，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，
∴AB′＝AB＝5，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AE垂直平分BB′，
∴AB＝BF＝5，
∴CF＝4，
∵CF∥AB，
∴△CEF∽△ABE，
∴＝，
即＝，
∴CE＝12，
∴BE＝15，
综上所述：BE的长为：或15，
故答案为：或15．


三.解答题（共8大题，共75分）
16．（8分）先化简，在求值：，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
要使分式有意义，x不能取﹣1，1，
则当x＝0时，原式＝＝﹣1．
17．（9分）某中学九（5）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（5）班的学生人数为　40　，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中n＝　20　，m＝　10　；
（3）排球兴趣小组4名学生中有2男2女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是一男一女的概率．

【分析】（1）根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它球类项目的人数，求出足球的人数，从而补全统计图；
（2）用足球的人数除以总人数，求出n，再用排球的人数除以总人数，即可求出m；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出选出的2名学生恰好是一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）九（5）班的学生人数为：12÷30%＝40（人），
足球的人数是：40﹣4﹣12﹣16＝8（人），补图如下：


（2）n%＝×100%＝20%，
则n＝20；
m%＝×100%＝10%，
则m＝10；
故答案为：20，10；

（3）根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有8种，
则选出的2名学生恰好是1男1女的概率为：＝．
18．（9分）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

【分析】根据AC∥BD∥OP，得出△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案．
【解答】解：∵∠MAC＝∠MOP＝90°，
∠AMC＝∠OMP，
∴△MAC∽△MOP，
∴＝，
即＝，
解得，MA＝4米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB＝1.2米，
则马晓明的身影变短了4﹣1.2＝2.8米．
∴变短了，短了2.8米．

19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y＝的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）连接OC、OD，求S△OCD；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集　x＜﹣2或0＜x＜6　．

【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）S△OCD＝S△OAD+S△OAC＝×OA×（yD﹣yC）＝×4×（3+1）＝8；
（3）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）设反比例函数为y＝，
∵点C（6，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴m＝6×（﹣1）＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣，
∵点D在反比例函数y＝﹣上，且DE＝3，
∴y＝3，代入求得：x＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
∵C、D两点在直线y＝kx+b上，则，解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；

（2）把y＝0代入y＝﹣x+2，解得x＝4，
即A（4，0），则OA＝4，

S△OCD＝S△OAD+S△OAC＝×OA×（yD﹣yC）＝×4×（3+1）＝8；

（3）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值，
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜6．
20．（9分）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）填空：
①当AB＝AC时，四边形ADCF是　矩　形；
②当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是　菱　形．

【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF＝BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；
（2）①根据矩形的判定定理即可得到结论；②根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．
在△AEF和△DEB中
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS）．
∴AF＝BD．
∴AF＝DC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形；

（2）①当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形；
②当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形．
故答案为矩形，菱形．
21．（9分）某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息：
请结合以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件，经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元，在不考虑其他因素的条件下，求当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元（注：单件利润＝零售单价﹣进货单价）

【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲每天卖出：（500+×100）件，每件降价后每件利润为：（1﹣m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可．
【解答】解：（1）设甲商品进货单价x元，乙商品进货单价y元．
依题意，得

解得：．
答：甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元．
（2）依题意，得
（2﹣m﹣1）•（500+1000m）+（3﹣2）×1300＝1800
（1﹣m）•（500+1000m）＝500
即2m2﹣m＝0
∴m1＝0.5，m2＝0
∵m＞0
∴m＝0不合舍去，即m＝0.5
答：当m＝0.5时，商店获取的总利润为1800元．
22．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
【分析】本题是一元二次方程的解法与新定义“邻根方程”的综合题，运用一元二次方程的解法，结合新定义便可解答．
（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝12a﹣b2，得t与a的关系，从而得出最后结果．
【解答】解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，
x＝3或x＝﹣2，
∵2≠﹣3+1，
∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②x＝＝，
∵＝+1，
∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x＝m或x＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2；
（3）解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，
∴﹣＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∵a＞0，
∴a＝4时，t的最大值为16．
23．（12分）如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现
如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB的度数为　60°　，线段AE、BE、CE之间的数量关系是　BE＝AE+CE　；
（2）拓展探究
如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题
如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．

【分析】（1）证明△ACE≌△ABD，得出CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，即可得出结论；
（2）证明△ACE∽△ABD，得出∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，即可得出结论；
（3）先判断出BD＝CE，再求出AB＝2，
①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根据勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；
②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝4，进而得出BD＝BP+DP＝8，即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
同理：AE＝AD，∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，
∵点B、D、E在同一直线上，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠CEB＝∠AEC﹣∠AEB＝60°，
∵DE＝AE，
∴BE＝DE+BD＝AE+CE，
故答案为60°，BE＝AE+CE；
（2）在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC，∠CAB＝45°，
同理，AD＝AE，∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，
∴，∠DAE＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
∴∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，
∵点B、D、E在同一条直线上，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠AEC＝135°，
∴∠EBC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
∵DE＝AE，
∴BE＝DE+BD＝AE+CE；

（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，
∴BD＝CE，
在Rt△ABC中，AC＝2，
∴AB＝AC＝2，
①当点E在点D上方时，如图③，
过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，
∵DE⊥BD，
∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，
∴四边形APDE是矩形，
∵AE＝DE，
∴矩形APDE是正方形，
∴AP＝DP＝AE＝2，
在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP＝＝6，
∴BD＝BP﹣AP＝4，
∴CE＝BD＝2；
②当点E在点D下方时，如图④
同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝4，
∴BD＝BP+DP＝8，
∴CE＝BD＝4，
即：CE的长为2或4．