辽宁省实验中学北校区2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试卷（Word版含答案）

这是一份辽宁省实验中学北校区2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试卷（Word版含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年辽宁省实验中学北校区九年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，共20分）
1．（2分）矩形的正投影不可能是　　
A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．线段
2．（2分）下列函数中一定是二次函数的是　　
A． B． C． D．
3．（2分）下列各组的四条线段，，，是成比例线段的是　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4．（2分）如图所示几何体的左视图是　　

A． B．
C． D．
5．（2分）对于抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
6．（2分）在中，，，那么边的长为　　
A． B． C． D．
7．（2分）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有　　
A．18张 B．16张 C．14张 D．12张
8．（2分）在中，，，则的值为　　
A． B． C． D．
9．（2分）一元二次方程有一根为4，则的值是　　
A． B．2 C． D．
10．（2分）二次函数，当时，的取值范围是什么　　
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，共18分）
11．（3分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为米，苗圃园的面积为平方米，则与的函数关系式是 　　．

12．（3分）如图，直线，它们依次交直线、于点、、和、、，已知，，，那么等于 　　．

13．（3分）如图，中，，点在上，，若，，则的长度为 　　．

14．（3分）若点在双曲线上，则代数式的值为 　　．
15．（3分）若点，，，都在抛物线上，则、、大小关系为 　　（用“”连接）．
16．（3分）对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤对于任意，始终有．其中结论正确的为 　　．（只填序号）

三、解答题（共9题）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）在中，对角线，平分交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

19．（6分）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
（1）在坐标系中原点的异侧，画出以为位似中心与位似比为2的位似图形△，并写出点，的坐标；
（2）△的面积为 　　．

20．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是　　；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
21．（8分）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔，某数学活动小组要测量信号塔的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量．点，，，在同一条直线上，在点时刚好能看到信号塔的最高点，测得仰角，测得长为9米．在点刚好能看到信号塔的最低点，测得仰角，测得长为12米．求信号塔的高度（结果保留根号）．

22．（10分）某商店销售一种成本价为10元件的产品，已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不高于16元件，根据市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）设商店每天销售这种产品可获利元，当销售价定为多少时，每天销售的利润最大？最大利润是多少？

23．（10分）如图，直线与直线的图象交于点，与轴交于点．
（1）填空：的坐标　　；的坐标　　；
（2）过点作轴于点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿的路线向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度．沿射线方向运动，过点作直线轴，交于点．当点到达点时，点也停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为．
①当在上运动时，求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
②若，请直接写出此时的值　　．

24．（12分）如图，菱形与菱形的顶点重合，，已知菱形绕点旋转的角度为．

（1）如图①，当点在对角线上时，　　；
（2）如图②，当菱形按顺时针方向旋转的角度为，线段与之间的数量关系为 　　，并证明你的结论；
（3）如图③，在菱形旋转的过程中，当点，，在同一条直线上时，连接并延长，交于点，若，，求的长．
25．（12分）已知抛物线经过点、，与轴的另一个交点为，点在线段上，过点作轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值；
（3）以为边在其左侧作等腰直角三角形，问点能否落在抛物线上，若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．


参考答案与解析
一、选择题（共10小题，共20分）
1．（2分）矩形的正投影不可能是　　
A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．线段
【分析】根据正投影的意义得出答案．
【解答】解：用平行光线对矩形从不同的方向，不同的角度正投影，可以得到矩形、正方形、线段，不可能是梯形，
故选：．
2．（2分）下列函数中一定是二次函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：．不符合二次函数的定义，不是二次函数，故本选项不符合题意；
．当时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
．符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项符合题意；
故选：．
3．（2分）下列各组的四条线段，，，是成比例线段的是　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：，故不符合题意，
，故不符合题意，
，故符合题意，
，故不符合题意，
故选：．
4．（2分）如图所示几何体的左视图是　　

A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，是一个长方形，长方形的中间偏上的部分有一条虚线．
故选：．
5．（2分）对于抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
6．（2分）在中，，，那么边的长为　　
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，得出答案．
【解答】解：在中，，，
，即，
，
故选：．
7．（2分）木箱里装有仅颜色不同的8张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出1张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有　　
A．18张 B．16张 C．14张 D．12张
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设木箱中蓝色卡片有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有12张．
故选：．
8．（2分）在中，，，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：设中，，、、的对边分别为、、，
由于，
可设，，由勾股定理得，
，
，
故选：．
9．（2分）一元二次方程有一根为4，则的值是　　
A． B．2 C． D．
【分析】将代入原方程求解．
【解答】解：把代入得，
解得，
故选：．
10．（2分）二次函数，当时，的取值范围是什么　　
A． B． C． D．
【分析】首先利用配方法求出二次函数的最值，进而利用的取值范围得出的取值范围．
【解答】解：

当时，，
，
时，，时，，
当时函数值的取值范围是：．
故选：．
二、填空题（共6小题，共18分）
11．（3分）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为米，苗圃园的面积为平方米，则与的函数关系式是 　　．

【分析】先用含的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积长宽列出关于的函数关系式．
【解答】解：设苗圃园垂直于墙的一边长为米，则苗圃园与墙平行的一边长为米．
依题意可得：，即．
故答案为：．
12．（3分）如图，直线，它们依次交直线、于点、、和、、，已知，，，那么等于 　7.5　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出，再求出即可．
【解答】解：直线，
，
，，，
，
解得：，
，
，
故答案为：7.5．
13．（3分）如图，中，，点在上，，若，，则的长度为 　　．

【分析】在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由锐角三角函数求得．
【解答】解：，，，
，
，
．
，
，
故答案为：．
14．（3分）若点在双曲线上，则代数式的值为 　2021　．
【分析】将点代入双曲线可求出，再代入计算即可．
【解答】解：点在双曲线上，
，


，
故答案为：2021．
15．（3分）若点，，，都在抛物线上，则、、大小关系为 　　（用“”连接）．
【分析】先求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．
【解答】解：函数的解析式是，
开口向上，对称轴是直线，
，关于对称轴的对称点，，
，
．
故答案为：．
16．（3分）对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤对于任意，始终有．其中结论正确的为 　②④　．（只填序号）

【分析】根据抛物线开口方向，抛物线对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断①，由抛物线与轴有两个交点判断②，由时可得时，从而判断③，由抛物线对称轴为直线可得，再由时可判断④，
当时，可判断⑤．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，①不正确，不符合题意．
抛物线与轴有两个交点，
，
，②正确，符合题意．
时，抛物线对称轴为直线，
时，，③不正确，不符合题意．
抛物线对称轴为直线，
，
时，，
，④正确，符合题意．
当时，，
⑤不正确，不符合题意．
故答案为：②④．
三、解答题（共9题）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）整理后利用公式法求解即可；
（1）根据有理数的负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：（1）整理得，
，，，
△，
，
，；
（2）原式
．
18．（8分）在中，对角线，平分交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即可得，由此可得；
（2）由勾股定理求得，过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，再由，即可得，由此即可求得
【解答】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，，，
，
过点作，垂足为，
平分，，
，
，
，
即，

19．（6分）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
（1）在坐标系中原点的异侧，画出以为位似中心与位似比为2的位似图形△，并写出点，的坐标；
（2）△的面积为 　6　．

【分析】（1）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，，．

（2）△的面积为，
故答案为：6．
20．（8分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如．
（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是　　；
（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是．
故答案为．

（2）树状图如图所示：

共有12种可能，满足条件的有4种可能，
所以抽到的两个素数之和等于30的概率
21．（8分）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔，某数学活动小组要测量信号塔的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量．点，，，在同一条直线上，在点时刚好能看到信号塔的最高点，测得仰角，测得长为9米．在点刚好能看到信号塔的最低点，测得仰角，测得长为12米．求信号塔的高度（结果保留根号）．

【分析】在中，根据三角函数的定义得到米，在中，根据三角函数的定义得到米，于是得到结论．
【解答】解：在中，
，米，，
米，
米，
米，
在中，
，，
米，
（米，
答：信号塔的高度为米．
22．（10分）某商店销售一种成本价为10元件的产品，已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不高于16元件，根据市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）设商店每天销售这种产品可获利元，当销售价定为多少时，每天销售的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据每天销售利润每件的销售利润销售量得出函数解析式，再配方成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
与的函数解析式为；
（2）根据题意知


，
，
当时，随的增大而增大，
，
当，即定价为16元件时，取得最大值，最大值为，
答：定价为16元件时，取得最大值，最大值为144元．
23．（10分）如图，直线与直线的图象交于点，与轴交于点．
（1）填空：的坐标　　；的坐标　　；
（2）过点作轴于点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿的路线向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度．沿射线方向运动，过点作直线轴，交于点．当点到达点时，点也停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为．
①当在上运动时，求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
②若，请直接写出此时的值　　．

【分析】（1）联立两直线解析式即可求得点坐标，将代入直线解析式即可求得点坐标；
（2）①分别用带的代数式表示出和的长度即可得出函数关系式；
②分点在和在上两种情况求值即可．
【解答】解：（1）联立，
解得，
点坐标为，
将代入直线中，
解得，
点坐标为，
故答案为，；
（2）①设轴交轴于，则，
设与轴交点为，则点坐标为，
，，
，
是等腰直角三角形，，
、的运动速度分别为每秒1单位长度和每秒单位长度，
当运动秒时，，，
，，
将代入，
得，
点的坐标为，
即，
由题知：，
即，
②当点在上时，，
解得，
，
，
，
当点在上时，如图2，
，，
点是中点，
若点在上时，由、的运动速度可知点已经过了点，
如图所示，此时，，，，
将代入得，
（Ⅰ）当时，，
，
整理得，
解得，
（Ⅱ）当时，如右图，，
，
整理得，
解得（舍去），，
，
综上，的值为或或，
故答案为或或．



24．（12分）如图，菱形与菱形的顶点重合，，已知菱形绕点旋转的角度为．

（1）如图①，当点在对角线上时，　　；
（2）如图②，当菱形按顺时针方向旋转的角度为，线段与之间的数量关系为 　　，并证明你的结论；
（3）如图③，在菱形旋转的过程中，当点，，在同一条直线上时，连接并延长，交于点，若，，求的长．
【分析】（1）如图1中，作于．证明，推出，即可解决问题．
（2）结论：．如图2中，连接．证明，可得．
（3）如图3中，证明，推出，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①，过点作于点．

四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案是：；

（2）．理由如下：
如图2中，连接．

四边形、四边形都是菱形，，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
故答案是：；

（3）如图3中，

，，，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
，
．
25．（12分）已知抛物线经过点、，与轴的另一个交点为，点在线段上，过点作轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值；
（3）以为边在其左侧作等腰直角三角形，问点能否落在抛物线上，若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．

【分析】（1）把、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，将、都用含的代数式表示，再求出关于的函数关系式，根据二次函数的性质求出面积的最大值；
（3）分三种情况讨论，一是，，可以设点在抛物线上，；二是，，设，，三是，，作于点，设，，分别求出或的值并进行检验，得出点的坐标．
【解答】解：（1）把、代入，
得，解得，
抛物线的解析式为：．
（2）如图1，设直线的解析式为，
把、代入，
得，解得，
直线的解析式为，
设，，则，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，
当，随的增大而减小，
当时，，
面积的最大值为8．
（3）能．
如图2，，，
设点在抛物线上，，
对于直线，当时，则，
，
，，
，
解得，（不符合题意，舍去），
，；
如图3，，，
设，，
则，，
当点在抛物线上时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
；
如图4，，，作于点，
则，
设，，
则，，
若点在抛物线上，则，
解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），
综上所述，点的坐标为，或．