2020版高考数学一轮复习课后限时集训31《数列求和》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三十一)　(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．数列{an}的通项公式为an=(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)A．200　　　　 B．－200C．400 D．－400B　[S100=(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)=4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]=4×(－50)=－200.]2．在数列{an}中，a1=2，a2=2，an＋2－an=1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(　　)A．990 B．1 000C．1 100 D．99A　[n为奇数时，an＋2－an=0，an=2；n为偶数时，an＋2－an=2，an=n.故S60=2×30＋(2＋4＋…＋60)=990.]3．数列{an}的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为(　　)A．120 B．99C．11 D．121A　[an===－，所以a1＋a2＋…＋an=(－1)＋(－)＋…＋(－)=－1=10.即=11，所以n＋1=121，n=120.]4.＋＋＋…＋的值为(　　)A． B．－C．－ D．－＋C　[因为===－，所以＋＋＋…＋===－.]5．Sn=＋＋＋…＋等于(　　)A． B．C． D．B　[由Sn=＋＋＋…＋，①得Sn=＋＋…＋＋，②①－②得，Sn=＋＋＋…＋－=－，所以Sn=.]二、填空题6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =________.　[由得∴Sn=n×1＋×1=，==2.∴ =＋＋＋…＋=2=2=.]7．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．2n＋1－n－2　[an=1＋2＋4＋…＋2n－1==2n－1，则Sn=a1＋a2＋…＋an=(2＋22＋…＋2n)－n=－n=2n＋1－n－2.]8．化简Sn=n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是________．2n＋1－n－2　[因为Sn=n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Sn=n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②所以①－②得，－Sn=n－(2＋22＋23＋…＋2n)=n＋2－2n＋1，所以Sn=2n＋1－n－2.]三、解答题9．(2019·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an－1.(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)设bn=(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解]　(1)证明：当n=1时，a1=S1=2a1－1，所以a1=1，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2an－1)－(2an－1－1)，所以an=2an－1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an=2n－1，所以bn=(2n－1)×2n－1，所以Tn=1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，①2Tn=1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②由①－②得－Tn=1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n=1＋2×－(2n－1)×2n=(3－2n)×2n－3，所以Tn=(2n－3)×2n＋3.10．(2019·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋=(32n－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=log3，求＋＋…＋.[解]　(1)=(32－1)=3，当n≥2时，=－＋＋…＋=(32n－1)－(32n－2－1)=32n－1，当n=1时，=32n－1也成立，所以an=.(2)bn=log3=－(2n－1)，因为==，所以＋＋…＋=1－＋－＋…＋－==.B组　能力提升1．1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋的值为(　　)A．18＋　　　　　B．20＋C．22＋ D．18＋B　[设an=1＋＋＋…＋==2.则原式=a1＋a2＋…＋a11=2＋2＋…＋2=2=2=2=2=20＋.]2．已知数列{an}满足a1=1，an＋1·an=2n(n∈N*)，则S2 016=(　　)A．22 016－1　　　 B．3·21 008－3C．3·21 008－1 D．3·21 007－2B　[a1=1，a2==2，又==2.∴=2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，∴S2 016=a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016=(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)=＋=3·21 008－3.故选B.]3．(2019·龙岩模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，对n∈N*都有Sn=1－an，若bn=log2an，则＋＋…＋=________.　[对n∈N*都有Sn=1－an，当n=1时，a1=1－a1，解得a1=.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=1－an－(1－an－1)，化为an=an－1.∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为.∴an=n.∴bn=log2an=－n.∴==－.则＋＋…＋=＋＋…＋=1－=.]4．(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2=6，a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1=bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.[解]　(1)设{an}的公比为q，由题意知a1(1＋q)=6，aq=a1q2，又an>0，由以上两式联立方程组解得a1=2，q=2，所以an=2n.(2)由题意知S2n＋1==(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1=bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn=2n＋1.令cn=，则cn=.因此Tn=c1＋c2＋…＋cn=＋＋＋…＋＋，又Tn=＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn=＋－，所以Tn=5－.