2020版高考数学一轮复习课后限时集训40《垂直关系》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(四十)　(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．(2019·长春模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC　[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误．]2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(　　)A　[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B选项中，AB与CD成60°角； C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为.]3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)A．α⊥β且mα　　　 B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥βC　[对A，设α∩β=a，mα，当m⊥a时，才有m⊥β，故A错误；对B，当α⊥β，且m∥α时，可能有m与β平行，故B错误；对C，由线面垂直的判定可知正确；对D，当m⊥n且n∥β时，可能有m∥β，故D错误．]4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)A．A1E⊥DC1　　 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1   D．A1E⊥ACC　[如图．∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C=C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．]5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下列结论正确的是(　　)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD　[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD=D，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB⊥平面ADC．又AB平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC．]二、填空题6．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[∵四棱锥底面各边相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]7．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．　[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C．所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设三棱柱的所有棱长为a，在Rt△AED中，AE=a，DE=.所以tan∠ADE==，则∠ADE=.故AD与平面BB1C1C所成的角为.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④　[对于①，α，β可以平行，可以相交也可以不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明]　(1)因为PA=PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.因为PD平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG=BC．因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE=BC．所以DE∥FG，DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF∥平面PCD.10．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示．图1　　　　　　图2(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由．[解]　(1)证明：由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC．所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1=D，所以DE⊥平面A1DC．由于A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE=D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，则DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE=D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.B组　能力提升1．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A．直线AB上　　　 B，直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部A　[连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，得AC⊥平面ABC1.∵AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．]2．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)A．A′C⊥BDB．∠BA′C=90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′­BCD的体积为B　[若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D=45°知C不正确；VA′­BCD=VC­A′BD=，D不正确．故选B.]3．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确结论的序号是________．①②③　[由BC⊥AC，BC⊥PA可得BC⊥平面PAC，又AF平面PAC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，则AF⊥平面PBC，从而AF⊥PB，AF⊥BC，故①③正确；由PB⊥AF，PB⊥AE可得PB⊥平面AEF，从而PB⊥EF，故②正确；若AE⊥平面PBC，则由AF⊥平面PBC知AE∥AF与已知矛盾，故④错误．]4．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC．(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离．[解]　(1)当AP=AB时，有AD∥平面MPC．理由如下：连接BD交MC于点N，连接NP.在梯形MBCD中，DC∥MB，==，因为△ADB中，=，所以AD∥PN.因为AD平面MPC，PN平面MPC，所以AD∥平面MPC．(2)因为平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD=DM，平面AMD中AM⊥DM，所以AM⊥平面MBCD.所以VP­MBC=×S△MBC×=××2×1×=.在△MPC中，MP=AB=，MC=，又PC==，所以S△MPC=××=.所以点B到平面MPC的距离为d===.