人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间:120分钟 满分:150分)


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)


1.lg1216=( )


A.4B.-4C.14D.-14


2.设a>0,将3a2a·4a3表示成分数指数幂的形式,其结果是( )


A.a112B.a114C.a124D.a118


3.函数f(x)=x-4lgx-1的定义域是( )


A.[4,+∞)


B.(10,+∞)


C.(4,10)∪(10,+∞)


D.[4,10)∪(10,+∞)


4.函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是( )


A.(1,2)B.(0,1)C.(2,e)D.(3,4)


5.用二分法判断方程2x3+3x-3=0在区间(0,1)内的解(精确度为0.25)可以是(参考数据:0.753=0.421 875,0.6253=0.244 14)( )





6.已知函数f(x)=3x-13x+1+2,则f(-10)+f(10)=( )


A.0B.2C.20D.4


7.函数f(x)=lga[(a-1)x+1]在定义域上( )


A.是增函数B.是减函数


C.先增后减D.先减后增


8.已知a=5lg23.4,b=5lg43.6,c=15lg30.3,则( )


A.a>b>cB.b>a>c


C.a>c>bD.c>a>b


9.已知函数f(x)=13x-lg2x,若实数x0是函数f(x)的零点,且0

A.恒为正值B.等于0


C.恒为负值D.不大于0


10.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的( )








11.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是( )


A.(0,+∞)B.[0,2]C.(0,2)D.(2,+∞)


12.已知函数f(x)=2|x|+lg2|x|,且f(lg2m)>f(2),则实数m的取值范围为( )


A.(4,+∞)B.0,14


C.-∞,14∪(4,+∞)D.0,14∪(4,+∞)


二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)


13.化简:-4870+214-12×13-2-(0.04)0.5= .


14.已知函数f(x)=lga(x+3)-89(a>0,a≠1)的图象恒过定点A.若点A也在函数g(x)=3x+b的图象上,则g(lg32)= .


15.若函数f(x)=(lg14x)2+lg4x+m在区间[2,4]上的最大值为7,则实数m= .


16.已知函数f(x)=a|lg2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=f(x),x>0,f(-x),x<0.给出下列四个命题:


①F(x)=|f(x)|;②函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若00时,函数y=F(x)-2有4个零点.其中真命题的序号是 .


三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17.(本小题满分10分)求值:


(1)(0.25)12--2×3702×[(-2)3]43+(2-1)-1-212;


(2)lg 12-lg 58+lg 12.5-lg89·lg278.























18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=23|x|-a.


(1)求f(x)的单调区间;


(2)若f(x)的最大值等于94,求实数a的值.


























19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg12(10-ax),且f(3)=-2.


(1)求函数f(x)的定义域;


(2)若不等式f(x)≥12x+m在x∈[3,4]上恒成立,求实数m的取值范围.























20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx2-3x+1的零点至少有一个大于0,求实数m的取值范围.

















21.(本小题满分12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:





(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=algbt;


(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
































22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.


(1)求实数k的值;


(2)设g(x)=lg4a·2x-43a,若函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,求实数a的取值范围.


t
50
110
250
Q
150
108
150
参考答案


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)


1.lg1216=( )


A.4B.-4C.14D.-14


解析:lg1216=-lg216=-4.


答案:B


2.设a>0,将3a2a·4a3表示成分数指数幂的形式,其结果是( )


A.a112B.a114C.a124D.a118


解析:3a2a·4a3=a23a12·a34=a23a54×12=a23-58=a124.


答案:C


3.函数f(x)=x-4lgx-1的定义域是( )


A.[4,+∞)


B.(10,+∞)


C.(4,10)∪(10,+∞)


D.[4,10)∪(10,+∞)


解析:由x-4≥0,lgx-1≠0,x>0,解得x≥4,x≠10,x>0,


所以x≥4,且x≠10,故函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10,+∞).


答案:D


4.函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是( )


A.(1,2)B.(0,1)C.(2,e)D.(3,4)


解析:因为f(1)=ln 2-2=ln 2e2ln 1=0,所以函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是(1,2).


答案:A


5.用二分法判断方程2x3+3x-3=0在区间(0,1)内的解(精确度为0.25)可以是(参考数据:0.753=0.421 875,0.6253=0.244 14)( )





解析:令f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)<0,f(1)>0,f(0.5)<0,f(0.75)>0,f(0.625)<0,所以方程2x3+3x-3=0的根在区间(0.625,0.75)内.


因为0.75-0.625=0.125<0.25,所以区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似解都满足题意.


答案:C


6.已知函数f(x)=3x-13x+1+2,则f(-10)+f(10)=( )


A.0B.2C.20D.4


解析:令g(x)=3x-13x+1,易知g(x)为奇函数,因此f(-10)+f(10)=g(-10)+g(10)+4=0+4=4.


答案:D


7.函数f(x)=lga[(a-1)x+1]在定义域上( )


A.是增函数B.是减函数


C.先增后减D.先减后增


解析:当a>1时,y=lgat在定义域上为增函数,t=(a-1)x+1在定义域上为增函数,所以f(x)=lga[(a-1)x+1]在定义域上为增函数;当0

答案:A


8.已知a=5lg23.4,b=5lg43.6,c=15lg30.3,则( )


A.a>b>cB.b>a>c


C.a>c>bD.c>a>b


解析:因为c=15lg30.3,所以c=5lg3103.


所以只需比较lg23.4,lg43.6,lg3103的大小.


又0lg33.4>lg3103>1,


所以a>c>b.


答案:C


9.已知函数f(x)=13x-lg2x,若实数x0是函数f(x)的零点,且0

A.恒为正值B.等于0


C.恒为负值D.不大于0


解析:因为函数f(x)在区间(0,+∞)内为减函数,且f(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,均有f(x)>0.


而00.


答案:A


10.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的( )








解析:由鱼缸的形状可知,水的体积v随着h的减小,先减少得慢,后减少得快,又减少得慢.


答案:B


11.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是( )


A.(0,+∞)B.[0,2]C.(0,2)D.(2,+∞)


解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0

答案:C


12.已知函数f(x)=2|x|+lg2|x|,且f(lg2m)>f(2),则实数m的取值范围为( )


A.(4,+∞)B.0,14


C.-∞,14∪(4,+∞)D.0,14∪(4,+∞)


解析:易知函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增.


又因为f(lg2m)>f(2),所以f(|lg2m|)>f(2).


所以|lg2m|>2.


所以lg2m>2或lg2m<-2,


解得04.


答案:D


二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)


13.化简:-4870+214-12×13-2-(0.04)0.5= .


解析:原式=1+4912×9-12512=1+23×9-15=7-15=645.


答案:645


14.已知函数f(x)=lga(x+3)-89(a>0,a≠1)的图象恒过定点A.若点A也在函数g(x)=3x+b的图象上,则g(lg32)= .


解析:因为f(-2)=-89,所以定点A的坐标为-2,-89.


又因为点A在g(x)的图象上,所以3-2+b=-89,解得b=-1.所以g(x)=3x-1.


所以g(lg32)=3lg32-1=2-1=1.


答案:1


15.若函数f(x)=(lg14x)2+lg4x+m在区间[2,4]上的最大值为7,则实数m= .


解析:令lg4x=t,因为x∈[2,4],所以t∈12,1.


所以函数可化为y=t2+t+m,其在t∈12,1上单调递增,所以12+1+m=7,解得m=5.


答案:5


16.已知函数f(x)=a|lg2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=f(x),x>0,f(-x),x<0.给出下列四个命题:


①F(x)=|f(x)|;②函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若00时,函数y=F(x)-2有4个零点.其中真命题的序号是 .


解析:①易知F(x)=f(|x|),故F(x)=|f(x)|不正确;②因为F(x)=f(|x|),所以F(-x)=F(x),因此函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若00时,F(x)=2可化为f(|x|)=2,即a|lg2|x||+1=2,即|lg2|x||=1a.


故|x|=21a或|x|=2-1a.故函数y=F(x)-2有4个零点,故②③④正确.


答案:②③④


三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17.(本小题满分10分)求值:


(1)(0.25)12--2×3702×[(-2)3]43+(2-1)-1-212;


(2)lg 12-lg 58+lg 12.5-lg89·lg278.


解:(1)原式=12-4×16+2+1-2=-1252;


(2)原式=-lg 2-lg 5+lg 8+lg 25-lg 2-lg9lg8×lg8lg27=-1+3lg 2+2lg 5-lg 2-2lg33lg3


=-1+2(lg 2+lg 5)-23=13.


18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=23|x|-a.


(1)求f(x)的单调区间;


(2)若f(x)的最大值等于94,求实数a的值.


解:(1)f(x)=23|x|-a=23x-a,x≥0,23-x-a,x<0,


所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(-∞,0)内单调递增.


(2)因为|x|-a的最小值为-a,


所以f(x)=23|x|-a的最大值为23-a,


即23-a=94,故a=2.


19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg12(10-ax),且f(3)=-2.


(1)求函数f(x)的定义域;


(2)若不等式f(x)≥12x+m在x∈[3,4]上恒成立,求实数m的取值范围.


解:(1)因为f(3)=-2,所以lg12(10-3a)=-2.


所以10-3a=4,解得a=2.


所以f(x)=lg12(10-2x).


要使函数f(x)有意义,应有10-2x>0,即x<5,故函数的定义域为(-∞,5).


(2)不等式f(x)≥12x+m可化为不等式m≤lg12(10-2x)-12x.


令g(x)=lg12(10-2x)-12x,显然g(x)在区间[3,4]上单调递增,


因此g(x)在区间[3,4]上的最小值为g(3)=lg124-123=-178,故m≤-178,


即实数m的取值范围是m≤-178.


20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx2-3x+1的零点至少有一个大于0,求实数m的取值范围.


解:①当m=0时,由f(x)=0,得x=13,符合题意,


②当m≠0时,


(ⅰ)由Δ=9-4m=0,得m=94,令f(x)=0,解得x=23,符合题意;


(ⅱ)Δ>0,即9-4m>0时,m<94.


设f(x)=0的两根为x1,x2,且x10,x1·x2=1m>0,即x1>0,x2>0,符合题意;


若m<0,则x1+x2=3m<0,x1·x2=1m<0,


即x1<0,x2>0,符合题意.


综上可知m的取值范围为-∞,94.


21.(本小题满分12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:





(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=algbt;


(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.


解:(1)由所提供的数据可知,芦荟种植成本Q随着上市时间t的增加先减少再增加.


若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=algbt中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.


将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得150=2 500a+50b+c,108=12 100a+110b+c,150=62 500a+250b+c.


解得a=1200,b=-32,c=4252.


所以,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=1200t2-32t+4252.


(2)当t=--322×1200=150(天)时,


芦荟种植成本最低为Q=1200×1502-32×150+4252=100(元/10 kg).


22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.


(1)求实数k的值;


(2)设g(x)=lg4a·2x-43a,若函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,求实数a的取值范围.


解:(1)因为f(x)是偶函数,


所以f(-x)=f(x)恒成立,


即lg4(4-x+1)-kx=lg4(4x+1)+kx.


因此lg4(4x+1)-x-kx=lg4(4x+1)+kx.


所以(2k+1)x=0.


所以2k+1=0,解得k=-12.


(2)由(1)知f(x)=lg4(4x+1)-12x.


因为函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,所以方程f(x)=g(x)有且仅有一解.


所以lg4(4x+1)-12x=lg4a·2x-43a,


即lg4(4x+1)-lg4412x=lg4a·2x-43a.


所以lg44x+12x=lg4a·2x-43a.


所以4x+12x=a·2x-43a,a·2x-43a>0.


设2x=t(t>0),则4x+12x=a·2x-43a可化为(a-1)t2-43at-1=0,①


即①式只有一个正根.


若a-1>0,则方程①式的Δ=169a2+4a-4>0,且两根之积为11-a<0,故方程必有一个正根,符合题意;


若a-1=0,则方程①式化为-43t-1=0,


解得t=-34,不符合题意;


若a-1<0,则由Δ=169a2+4a-4=0,


得a=-3或a=34.


当a=-3时,t=12,符合题意;


当a=34时,t=-2,不符合题意.


综上可知实数a的取值范围是a=-3或a>1.t
50
110
250
Q
150
108
150