【精品】人教版 七年级上册数学 专题03 与数有关的排列规律重难点题型（举一反三）（人教版）（原卷版）

专题03  与数有关的排列规律重难点题型汇编【举一反三】

【人教版】

【考点1  周期规律】

【方法点拨】解决此类问题的关键在于找到一列数的周期，而周期可通过列举法来发现，根据题意从第一

项开始列举直至找到重复第一项，即为一个周期，由此可解.

【例1】（2019春•宝安区校级期中）让我们按以下步骤计算

第一步：取一个自然数，计算得；

第二步：算出的各位数字之和得，计算得；

第三步：算出的各位数字之和得，计算得；

依此类推，则　　

A．26 B．65 C．122 D．无法计算

【变式1-1】（秋•景德镇期中）对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（1）

末位数字），（2）的末位数字），（3）的末位数字），则（1）（2）（3）

的值是　　

A．4028 B．4030 C．4032 D．4038

【变式1-2】（2019秋•台州期中）在一列数：，，，，中，，，从第三个数开始，

每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2016个数是　　

A．9 B．3 C．7 D．1

【变式1-3】（春•雨花区校级期中）有一列数，，，，，满足，，之后每一个数是1与前一个数的差的倒数，即，则　　

A． B． C． D．

【考点2  数图规律】

【方法点拨】解决此类问题在于通过数图找到数与数之间的关系式.

【例2】（秋•常熟市期中）根据图中数字的规律，则的值是　　

A．729 B．550 C．593 D．738

【变式2-1】（秋•瑶海区期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为　　

A．19 B．21 C．32 D．41

【变式2-2】（秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，下列各三角形的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律最后一个三角形中的值是　　

A．418 B．420 C．424 D．422

【变式2-3】（秋•汉滨区期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的

根据此规律确定的值为　　

A．252 B．209 C．170 D．135

【考点3  数式的排列规律】

【方法点拨】解决此类问题在于通过数式的排列规律找到数与数之间的关系.

【例3】（秋•江城区期中）观察下列三行数：

0，3，8，15，24，①

2，5，10，17，26，②

0，6，16，30，48，③

（1）第①行数按什么规律排的，请写出来？

（2）第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？

（3）取每行的第个数，求这三个数的和．

【变式3-1】（秋•汉滨区期中）仔细观察下列三组数

第一组：1，4，9，16，

第二组：1，8，27，64，

第三组：，，，，

（1）写出每组的第6个数各是多少？

（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？

（3）取每组的第20个数，计算这三个数的和．

【变式3-2】（秋•福州期中）观察下列三行数，并完成后面的问题：

①，4，，16，，；

②1，，4，，16，；

③0，，3，，；

（1）根据排列规律，分别写出上面三行数的第6个数；

（2）设、、分别表示第①、②、③行数的第2019个数字，计算的值．

【变式3-3】（秋•洪山区期中）观察下面三行数

、 4 、、 16 、、 64 、①

0 、 6 、、 18 、、 66 、②

5 、、11、、 35 、、③

（1） 第①行数的第 7 个数是　　；

（2） 设第②行数中有一个数为，第③行数中对应位置的数为，则和之间等量关系为　　；

设第①行数的第个数为，取每行的第个数， 这三个数的和是　　；

（3） 根据 （2） 中的结论， 若取每行的第 9 个数， 计算这三个数的和 ．

【考点4  三角形数阵中的排列规律】

【例4】（秋•厦门期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，，，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，

（1）第10行中从左边数第4个数是　　；

（2）前7行的数字总和是　　．

【变式4-1】（秋•江阴市期中）如图， 将正整数按如图所示规律排列下去， 若用有序数对表示排从左到右第个数 ． 如表示 9 ，则表示　　．

【变式4-2】（秋•上杭县期中）将整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是，第3行最后一个数是9，第4行最后一个数是，，依此类推，第21行的第21个数是　　．

【变式4-3】（秋•二七区校级期中）观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是　　．

【考点5  长方形数阵中的排列规律】

【例5】（秋•高邮市期中）如图1，在五列若干行的表格中，将2、4、6、8、10、12、若干个偶数有规律的放入．

（1）第7行第二列的数是　　．

（2）若用表示第三列的某一个数，则该数左上角的与右下角的两个数的和为　　；

（3）若小颖用图2所示的的方框框住的9个数之和等于612，求这个方框内右下角的那个数．

【变式5-1】（秋•新洲区期中）把2016个正整数1、2、3、4、、2016按如图方式排列成一个表，用一方框按如图所示的方式任意框住9个数．（方框只能平移）

（1）若框住的9个数中，正中间的一个数为39，则：这九个数的和为　　．

（2）方框能否框住这样的9个数，它们的和等于2016？若能，请写出这9个数；若不能，请说明理由．

（3）若任意框住9个数的和记为，则：的最大值与最小值之差等于　　．

【变式5-2】（秋•黄陂区期中）如图

（1）在第　　行，第　　列；

（2）由五个数组成的“”中：

①这五个数的和可能是2019吗，为什么？

②如果这五个数的和是60，直接写出这五个数；

（3）如果这五个数的和能否是2025，若能请求出这5个数；若不能请说明理由．

【变式5-3】（秋•雨花区校级期中）把正整数1，2，3，，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、，从左到右分别称为第1列、第2列、．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为、、、．设．

（1）在图1中，排在第　　行第　　列；排在第行第列的数为　　，其中，，且都是正整数；（直接写出答案）

（2）若，求出所表示的数；

（3）在图（2）中，被阴影覆盖的这些数的和能否为4212？如果能，请求出这些数中最大的数，如果不能，请说明理由．

【考点6  数式求和—裂项法】

【例6】（秋•开封期中）请观察下列算式，找出规律并填空：

，，，，则：

（1）第10个算式是　　；

（2）第个算式为　　；

（3）根据以上规律解答下题：

【变式6-1】（秋•潮州期中）观察下列等式：，，，

将以上三个等式两边分别相加得：

．

（1）猜想并写出：　　

（2）直接写出下列各式的计算结果：

①　　

②　　

（3）探究并计算：

【变式6-2】（秋•兴庆区校级期中）观察下列等式：

第一个等式：

第二个等式：

第三个等式：

按以上规律解答下列问题：

（1）列出第五个等式：　　

（2）计算的结果．

（3）计算的结果．

【变式6-3】（秋•安徽期中）阅读并验证下列计算：，，，

计算：

理解上述解题力法，思考其中的规律，完成下列任务：

（1）　　（直接填得数）

（2）计算：；

（3）填空：①　　；

②　　．

【考点7  数式求和—等差类】

【例7】（秋•赣榆区期中）问题探究：观察下面由“※”组成的图案和算式，解答问题：

问题解决：

（1）试猜想的结果为　　；

（2）若表示正整数，请用含的代数式表示的结果．

问题拓展：

（3）请用上述规律计算：．

【变式7-1】（秋•蒙城县期中）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：

（1）如果时，那么的值为　 　；

（2）根据表中的规律猜想：用的代数式表示的公式为：　 　；

（3）根据上题的规律计算的值（要有计算过程）．

【变式7-2】（秋•殷都区期中）探索规律，观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：

（1）请猜想　 　；

（2）请猜想　 　；

（3）请计算：．

【变式7-3】（秋•射阳县期中）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：

（1）按这个规律，当时，和为　　

（2）从2开始，个连续偶数相加，它们的和与之间的关系，用公式表示出来为　　

（3）应用上述公式计算

①

②

【考点8  数式求和—等比类】

【例8】（秋•宝安区期中）（1）①观察一列数1，2，3，4，5，，发现从第二项开始，每一项与前一

项之差是一个常数，这个常数是　　；根据此规律，如果为正整数）表示这个数列的第项，那么

　　，　　；

②如果欲求的值，可令①

将①式右边顺序倒置，得②

由②加上①式，得　　；

　　；

由结论求　　；

（2）①观察一列数2，4，8，16，32，，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是　　；根据此规律，如果为正整数）表示这个数列的第项，那么　　，　　；

②为了求的值，可令，则

，因此，所以，即

．

仿照以上推理，计算

【变式8-1】（秋•和平区期中）观察下列各等式：

用你发现的规律解答下列问题：

（1）填空：　　　　为正整数）；

（2）计算：

①；

②

【变式8-2】（2019秋•中原区校级期中）观察下面的几个式子

（1）根据上面的规律，第5个式子为：　　；

（2）根据上面的规律，第个式子为：　　；

（3）利用你发现的规律写出　　；

（4）利用你发现的规律求出的值并写出过程．

【变式8-3】（2019春•丹阳市期中）运算、观察、猜想、运用．

（1）填空

（2）猜想

第个等式是：　　并说明第个等式成立．

（3）计算